【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和⊙C,給出如下的定義:若⊙C上存在兩個點A、B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C的可視點.
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時,
①在點、E(1,1)、F(3,0)中,⊙O的可視點是______.
②過點M(4,0)作直線l:y=kx+b,若直線l上存在⊙O的可視點,求b的取值范圍;
(2)若T(t,0),⊙T的半徑為1,直線y=上存在⊙T的可視點,且所有可視點構(gòu)成的線段長度為n,若,直接寫出t 的取值范圍.
【答案】(1)①D、E,②;(2)或
【解析】
(1)①根據(jù)題意舉例說明即可;
②當(dāng)直線l與半徑為2的⊙O相切時,利用sin∠AMO=,可求得∠AMO=30°,進(jìn)而可求得OE長,從而可得b的取值范圍;
(2)當(dāng)t>0時,先求直線y=與半徑為2的⊙T相切時的t的值,再求直線y=與半徑為2的⊙T相交且所截線段長為時的t的值,進(jìn)而求得t的取值范圍.
解:(1)①如圖,過點D作DA∥x軸,DB∥y軸,可得∠ADB=90°,當(dāng)點A、B在圓上越來越靠近時,∠ADB可以為60°,則點D是可視點;
如圖,過點E作⊙O的切線EA、EB,則∠OAE=∠OBE =90°
又∵∠AOB=90°,∴∠E=90°,
當(dāng)點A、B在圓上越來越靠近時,∠AEB可以為60°,則點E是可視點;
由題意可知,當(dāng)點P在⊙O外時,過點P作⊙O的切線PA、PB,則此時∠APB最大,若∠APB≥60°,則⊙O上一定存在兩個點A、B,使得∠APB=60°.
如圖,過點P作⊙O的切線PA、PB,當(dāng)∠APB=60°時,則∠APO=∠BPO=30°,
在Rt△AOP中,sin∠APO=,
∵OA=1,
∴OP=2
∴當(dāng)OP≤2時,⊙O一定有可視點,當(dāng)OP>2時,⊙O沒有可視點.
∵點F(3,0),
∴OF=3>2,
∴點F不是可視點
故答案為:D、E.
②由①得,若直線l上存在⊙O的可視點,則直線l與半徑為2的⊙O相切或相交;
如圖,當(dāng)直線l與半徑為2的⊙O相切時,
∵M(jìn)(4,0),
∴OM=4,
∴在Rt△AOM中,sin∠AMO=,
∴∠AMO=30°,
∴在Rt△EOM中,tan∠EMO=,
∴,
∴若直線l上存在⊙O的可視點,求b的取值范圍為;
(2)當(dāng)y=0時,=0,
解得,x=,則直線l與x軸的交點坐標(biāo)為(,0),
當(dāng)x=0時,y=,則直線l與y軸的交點坐標(biāo)為(0,),
∵直線y=上存在⊙T的可視點,且⊙T的半徑為1,
∴直線y=與半徑為2的⊙T相交或相切
當(dāng)t>0時,
如圖,當(dāng)直線y=與半徑為2的⊙T相切時,
∵E(0,),F(,0),
∴OE=,OF=,
∴在Rt△EOF中,tan∠EFO=,
∴∠TFG=∠EFO=60°,
∵T(t,0),
∴TF=,
∴在Rt△TGF中,sin∠TFG=,
∴,
如圖,當(dāng)直線y=與半徑為2的⊙T相交且CD=時,
過點T作TH⊥CD,則
在Rt△THD中,cos∠TDH=,
∴∠TDH=30°,
又∵∠TFD=60°,
∴∠DTF=90°,
∴在Rt△TFD中,,
∴,
∵,
∴,
同理,當(dāng)t<0時,
綜上所述,t的取值范圍為:或
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點為(,)的拋物線交y軸于點C(0,﹣2),交x軸于點A,B(點A在點B的左側(cè)).P點是y軸上一動點,Q點是拋物線上一動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P點運動到何位置時,△POA與△ABC相似?并求出此時P點的坐標(biāo);
(3)當(dāng)以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形時,求Q點的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c與直線l:y=kx+m(k>0)交于A(1,0),B兩點,與y軸交于C(0,3),對稱軸為直線x=2.
(1)請直接寫出該拋物線的解析式;
(2)設(shè)直線l與拋物線的對稱軸的交點為F,在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點G,若,且S△BAG=6,求點G的坐標(biāo);
(3)若在直線上有且只有一點P,使∠APB=90°,求k的值.
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【題目】如圖將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°)得到正方形AB′C′D′.
(1)如圖1,B′C′與AC交于點M,C′D′與AD所在直線交于點N,若MN∥B′D′,求α;
(2)如圖2,C′B′與CD交于點Q,延長C′B′與BC交于點P,當(dāng)α=30°時.
①求∠DAQ的度數(shù);
②若AB=6,求PQ的長度.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C 是⊙O上一點,過點C 作⊙O的切線,交BA的延長線交于點D,過點B 作BE⊥BA,交DC延長線于點E,連接OE,交⊙O于點F,交BC于點H,連接AC.
(1)求證:∠ECB=∠EBC;
(2)連接BF,CF,若BF=5,sin∠FBC=,求AC的長.
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【題目】如圖,動點在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示的方向運動,第1次從原點運動到(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),...按這樣的運動規(guī)律,經(jīng)過2019次運動后,動點的坐標(biāo)為___________.
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【題目】如圖,直線l和雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點,P是線段AB上的點(不與A、B重合),過點A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別為C、D、E,連接OA、OB、OP,設(shè)△AOC的面積為S1、△BOD的面積為S2、△POE的面積為S3,則( )
A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3
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【題目】當(dāng)?shù)貢r間2019年4月15日下午,法國巴黎圣母院發(fā)生火災(zāi),大火燒毀了巴黎圣母院后塔的塔頂.燒毀前,為測量此塔頂的高度,在地面選取了與塔底共線的兩點、,、在的同側(cè),在處測量塔頂的仰角為27°,在處測量塔頂的仰角為45°,到的距離是89.5米.設(shè)的長為米,則下列關(guān)系式正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在正方形中,是對角線與的交點,是邊上的動點(點不與重合),過點作垂直交于點,連結(jié).下列四個結(jié)論:①;②;③;④若,則的最小值是1.其中正確結(jié)論是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
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