Question

如圖，在⊙O中，直徑BC為10，點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)點(diǎn)，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．過點(diǎn)E作⊙O的切線，交BC的延長線于慮D，連接CE．
（1）求證：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的長；
（3）如果點(diǎn)A由點(diǎn)B出發(fā)，在⊙O的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A在什么位置時(shí)，AE與BD互相平行？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠ABE=∠EBC，

AE

=

CE

，由圓周角定理可得∠ABE=∠ACE，由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC，故∠ACE=∠DEC；
（2）由（1）可知

AE

=

CE

，因?yàn)锳B=AE，所以

AE

=

CE

=

AB

，故A、E三等分

AC

，故三段弧所對(duì)的圓周角等于30°，再根據(jù)直角三角形及相似三角形的性質(zhì)即可解答；
（3）由（2）可知，當(dāng)

AE

=

CE

=

AB

，即A、E三等分

AC

時(shí)，AE與BD互相平行．

解答：（1）證明：∵AE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠EBC，

AE

=

CE

；
又∵∠ABE=∠ACE，∠DEC=∠EBC，
∴∠ACE=∠DEC．

（2）解：∵

AE

=

CE

，AB=AE，
∴

AE

=

CE

=

AB

，故A、E三等分

AC

，
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°，AE∥BD；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，故AB=

1

2

BC=

1

2

×10=5，故AB=AE=CE=5，
AC=BE=

BC2-AB2

=

102-52

=5

3

，
△AEF∽△CBF，設(shè)AF=x，則

AF

CF

=

AE

BC

，即

x

5 3 -x

=

1

2

，
解得x=

5 3

3

，即AF=

5 3

3

；

（3）解：由（2）可知，當(dāng)

AE

=

CE

=

AB

，即A、E三等分

AC

時(shí)，AE與BD互相平行．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，涉及到圓周角的性質(zhì)定理及直角三角形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．