Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接CD、BF．

（1）求證：△BDE≌△CFE；

（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDCF是矩形？

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)BC＝AC時(shí)，四邊形BDCF是矩形，理由詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)得出∠DBE＝∠CFE，由中點(diǎn)的定義得出BE＝CE，由ASA證明△BDE≌△CFE即可；

（2）先證明DE是△ABC的中位線，得出DE∥AC，證出四邊形BDCF是平行四邊形，得出AD＝CF，證出CF＝BD，得出四邊形BDCF是平行四邊形；再由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠DBE＝∠CFE，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE＝CE，

在△BDE和△CFE中，

∴△BDE≌△CFE（ASA）；

（2）解：當(dāng)BC＝AC時(shí)，四邊形BDCF是矩形，理由如下：

∵D、E分別是AB，BC的中點(diǎn)

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AC，又AF∥BC，

∴四邊形BDCF是平行四邊形，

∴AD＝CF，

又BD＝AD，

∴CF＝BD，又CF∥BD，

∴四邊形BDCF是平行四邊形；

∵BC＝AC，BD＝AD，

∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，

∴平行四邊形BDCF是矩形．