Question

【題目】如圖，在菱形中，對角線、交于點，已知，．

（1）求的長；

（2）點為直線上的一個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉的角度后得到對應的線段（即，交于點．

①當時，求的長；

②連接、，當的長度最小時，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①；②當DF的長度最小時，△ACF的面積為．

【解析】

（1）利用菱形的性質，把所求的BD的一半BO放到Rt△AOB中用勾股定理求解即可；

（2）①當時，可利用△ACD的面積求出CE的長度，因為已知條件中有相等的角∠ECF＝∠BCD，所以尋找△CEF是否與△BCD相似，然后利用相似三角形對應邊成比例即可求出EF的長度；

②如果直接求△ACF面積的最小值并不好求，因為只有一邊AC已知，而AC邊上的高的最小值并不好確定，所以想辦法進行轉化.通過題目中的已知條件發(fā)現(xiàn)△BCE≌△DCF，從而得出BE=DF，所以當DF最小時，也就是BE最小時.當BE⊥DE時，BE最小，從而可利用相似求出△ACF面積的最小值.

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝，AC⊥BD，

OA＝OC＝AC＝，OB＝OD，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

∴BD＝2OB＝8；

（2）①

∴

∴

由旋轉的性質得：∠ECF＝∠BCD，CF＝CE，

∴，

∴△ECF∽△BCD，

∴，

∴；

②如圖所示：

∵∠BCD=∠ECF

∴∠BCD-∠ECD =∠ECF-∠ECD

∴∠BCE=∠DCF

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE＝DF，

當BE最小時，DF就最小，且BE⊥DE時，BE最小，

此時∠EBC＝∠FDC＝90°，BE＝DF＝4

∵△BCE,△ABC,△ACD等底等高

∴

∴

∴

過點F作FH⊥AD于H，過點C作CP⊥AD于P，

則∠CPD＝90°，

∴∠PCD+∠PDC＝90°，

∵∠FDC＝90°，

∴∠PDC+∠HDF＝90°，

∴∠PCD＝∠HDF，

∴△PCD∽△HDF，

∴，

∴HF＝，

∴S△ADF＝ADHF＝，

∴S△ACF＝S四邊形ACFD﹣S△ADF＝16﹣＝，

即當DF的長度最小時，△ACF的面積為．