Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作拋物線(xiàn)．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BCE的平分線(xiàn)CD交⊙O′于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；并直接寫(xiě)出直線(xiàn)BC、直線(xiàn)BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴ ．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴ ，

解得OC=3（負(fù)值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，

∴二次函數(shù)的解析式為y= （x+1）（x﹣9），

即y= x2﹣ x﹣3．

（2）

解：∵AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BCE的平分線(xiàn)CD交⊙O′于點(diǎn)D，

∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，

連接O′D交BC于點(diǎn)M，

則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．

∴O′D⊥x軸

∴D（4，﹣5）．

∴設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得

∴直線(xiàn)BD的解析式為y=x﹣9．

∵C（0，﹣3），

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=ax+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線(xiàn)BC的解析式為：y= x﹣3

（3）

解：假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：設(shè)射線(xiàn)DP交⊙O′于點(diǎn)Q，則 ．

分兩種情況（如圖所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，

因此，點(diǎn)Q1（7，﹣4）符合 ，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DQ1解析式為y= x﹣ ．

解方程組

得

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為（ ， ），坐標(biāo)為（ ， ）不符合題意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2（7，4）也符合 ．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DQ2解析式為y=3x﹣17．

解方程組

得 ，

即

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法二：分兩種情況（如圖所示）：

①當(dāng)DP1∥CB時(shí)，能使∠PDB=∠CBD．

∵B（9，0），C（0，﹣3）．

∴用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BC解析式為y= x﹣3．

又∵DP1∥CB，

∴設(shè)直線(xiàn)DP1的解析式為y= x+n．

把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，

∴直線(xiàn)DP1解析式為y= x﹣ ．

解方程組

得

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）（不符合題意舍去）．

②在線(xiàn)段O′B上取一點(diǎn)N，使BN=DM時(shí)，得△NBD≌△MDB（SAS），

∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直線(xiàn)BC解析式為y= x﹣3．

取x=4，得y=﹣ ，

∴M（4，﹣ ），

∴O′N(xiāo)=O′M= ，

∴N（ ，0），

又∵D（4，﹣5），

∴直線(xiàn)DN解析式為y=3x﹣17．

解方程組

得 ，

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法三：分兩種情況（如圖所示）：

①求點(diǎn)P1坐標(biāo)同解法二．

②過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線(xiàn)，交圓O′于G，

此時(shí)，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由（2）題知直線(xiàn)BD的解析式為y=x﹣9，

又∵C（0，﹣3）

∴可求得CG的解析式為y=x﹣3，

設(shè)G（m，m﹣3），作GH⊥x軸交于x軸與H，

連接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D（4，﹣5）與G（7，4）可得，

DG的解析式為y=3x﹣17，

解方程組

得 ，

即

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，﹣8）不符合題意舍去．

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（ ， ），P2（14，25）．

【解析】（1）已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出OA、OB的長(zhǎng)，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）本題的關(guān)鍵是得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標(biāo)為（4，﹣5）．根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式；（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①過(guò)D作DP∥BC，交D點(diǎn)右側(cè)的拋物線(xiàn)于P，此時(shí)∠PDB=∠CBD，可先用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，然后根據(jù)BC與DP平行，那么直線(xiàn)DP的斜率與直線(xiàn)BC的斜率相同，因此可根據(jù)D的坐標(biāo)求出DP的解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)DP的解析式和拋物線(xiàn)的解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點(diǎn)．②同①的思路類(lèi)似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點(diǎn)N，使BN=BM．可通過(guò)證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線(xiàn)DN的解析式，進(jìn)而可求出其與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即P點(diǎn)的坐標(biāo)．綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的值．