(2013•路北區(qū)三模)已知:如圖,直線MN交⊙O于A、B兩點,AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于點D,過點D作DE⊥MN,垂足為E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠ADE=30°,⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)首先由等腰三角形的性質(zhì),可得∠OAD=∠ODA,易證得DO∥MN,即可得DE⊥OD,即得DE是⊙O的切線;
(2)根據(jù)陰影部分的面積等于扇形面積減去等邊△OAB的面積求解即可.
解答:(1)證明:連接OD,
∵OA=OD(⊙O的半徑),
∴∠OAD=∠ODA(等邊對等角),
∵AD平分∠CAM(已知),
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE(等量代換),
∴DO∥MN(內(nèi)錯角相等,兩直線平行);
∵DE⊥MN(已知),
∴DE⊥OD,
∵D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切線;

(2)解:過點O作OF⊥AB于F.
∵∠ADE=30°,DE⊥MN,
∴∠DAE=60°;
又∵AD平分∠CAM,
∴∠OAD=∠DAE=60°,
∴∠CAB=60°,
∴∠AOF=30°,
∴∠AOB=60°,
∴cos∠CAB=
AF
OA
=
1
2

∴AF=1;
∴OF=
3

∴S陰影=S扇形-S△OAB=
60π×2
180
-
1
2
×2×
3
=
2
3
π-
3
點評:此題考查了圓的切線的性質(zhì)與判定,以及相似三角形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì).此題綜合型性比較強(qiáng),解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•路北區(qū)三模)某市教育局為了了解初一學(xué)生第一學(xué)期參加社會實踐活動的天數(shù),隨機(jī)抽查本市部分初一學(xué)生第一學(xué)期參加社會實踐活動的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖).

請你根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)a=
25
25
%,并寫出該扇形所對圓心角的度數(shù)為
90
90
;補(bǔ)全條形圖;
(2)在這次抽樣調(diào)查中,眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(3)如果該市有初一學(xué)生20000人,請你估計“活動時間不少于5天”的大約有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•路北區(qū)三模)如圖,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā),其中點P沿BC向終點C運(yùn)動,速度為1cm/s;點Q沿CA、AB向終點B運(yùn)動,速度為2cm/s,設(shè)它們運(yùn)動的時間為x(s).
(1)求x為何值時,PQ⊥AC;
(2)設(shè)△PQD的面積為y(cm2),當(dāng)0<x<2時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)0<x<2時,求證:AD平分△PQD的面積;
(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系,請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•路北區(qū)三模)已知扇形的半徑為2,圓心角為60°,則扇形的弧長為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•路北區(qū)三模)若|+a|=2,則a的值為( 。

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同步練習(xí)冊答案