Question

已知拋物線經(jīng)過點A（4，0）．設(shè)點C（1，-3），請在拋物線的對稱軸上確定一點D，使得|AD-CD|的值最大，則D點的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸方程x=2，又由作點C關(guān)于x=2的對稱點C′，直線AC′與x=2的交點即為D，求得直線AC′的解析式，即可求得答案．
解答：解：∵拋物線經(jīng)過點A（4，0），
∴×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x=（x-2）²-2，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
∵點C（1，-3），
∴作點C關(guān)于x=2的對稱點C′（3，-3），
直線AC′與x=2的交點即為D，
因為任意取一點D（AC與對稱軸的交點除外）都可以構(gòu)成一個△ADC．而在三角形中，兩邊之差小于第三邊，即|AD-CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延長線上的點的時候取到|AD-C′D|=AC′．把A，C′兩點坐標(biāo)代入，得到過AC′的直線的解析式即可；
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AC′的解析式為y=3x-12，
當(dāng)x=2時，y=-6，
∴D點的坐標(biāo)為（2，-6）．
故答案為：（2，-6）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱軸，以及距離差最小問題．此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．