Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，線段NF的長(zhǎng)為l，求l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若點(diǎn)M在x軸上，是否存在點(diǎn)M，使以B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）l＝﹣n2﹣2n；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）先根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式的交點(diǎn)式，再由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)可求出點(diǎn)N與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，從而根據(jù)即可得出答案；

（3）先利用勾股定理求出BC、BM、CM的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論，分別列出等式求解即可．

（1）由兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為

將點(diǎn)代入得

解得

故拋物線的表達(dá)式為；

（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為

將代入得

解得

則直線AC的表達(dá)式為

由題意設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)

因此，，即

故l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）存在，求解過(guò)程如下：

設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)，點(diǎn)

則

根據(jù)等腰三角形的定義分以下3種情況：

①當(dāng)時(shí)，，解得（此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，舍去）或

②當(dāng)時(shí)，，解得

③當(dāng)時(shí)，，解得

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．