精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線y=2x2沿y軸向上平移1個(gè)單位,再沿x軸向右平移兩個(gè)單位,平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)記作A,直線x=3與平移后的拋物線相交于B,與直線OA相交于C.
(1)求△ABC面積;
(2)點(diǎn)P在平移后拋物線的對稱軸上,如果△ABP與△ABC相似,求所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)題意可知平移后的函數(shù)的解析式為:y=2(x-2)2+1,可據(jù)此求出其頂點(diǎn)A和B點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出直線AO的解析式,即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出△ABC的面積;
(2)由于不確定是哪組角對應(yīng)相等,因此要分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠PBA=∠CBA時(shí),四邊形PACB是平行四邊形,因此PA=BC,由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
②當(dāng)∠APB=∠BAC時(shí),可根據(jù)關(guān)于AP,AB,BC的比例關(guān)系式,求出AP的長,進(jìn)而可求出P的坐標(biāo).
綜上所述即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:平移后拋物線的解析式為y=2(x-2)2+1.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),
設(shè)直線OA解析式為y=kx,將A(2,1)代入
得k=
1
2
,直線OA解析式為y=
1
2
x,
將x=3代入y=
1
2
x
得y=
3
2
,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,
3
2
).
將x=3代入y=2(x-2)2+1得y=3,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3).
∴S△ABC=
3
4


(2)∵PA∥BC,
∴∠PAB=∠ABC
①當(dāng)∠PBA=∠BAC時(shí),PB∥AC,
∴四邊形PACB是平行四邊形,
∴PA=BC=
3
2

∴P1(2,
5
2
).

②當(dāng)∠APB=∠BAC時(shí),
AP
AB
=
AB
BC
,
∴AP=
AB2
CB

又∵AB=
(3-2)2+(3-1)2
=
5

∴AP=
10
3

∴P2(2,1+
10
3
)即P2(2,
13
3

綜上所述滿足條件的P點(diǎn)有(2,
5
2
),(2,
13
3
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)圖象的平移,圖形面積的求法,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
4
個(gè).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=1,并且經(jīng)過(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標(biāo)平面中確定點(diǎn)P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點(diǎn)P共有
5
5
個(gè).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點(diǎn)D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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