Question

26、如圖，已知點P在∠AOB的邊OA上，
（1）按下列要求作圖：
①作∠AOB的平分線OM；
②以P為頂點，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于點C；
③過C作CD⊥OB，垂足為點D．
（2）當PC=2CD時，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析：（1）①以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與∠AOB的兩邊分別相交，再以兩交點為圓心，以大于兩交點之間的距離的一半為半徑畫弧，相交于一點，過這一點與O作射線OM即可；
②根據(jù)作一個角等于已知角的做法作出即可；
③以點C為圓心，以大于點C到OB的距離為半徑畫弧，與AB相交于兩點，再分別以這兩點為圓心，以大于兩點之間的距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過這一點與點C作直線，與OB相交于點D，則CD就是所要作的線段．
（2）過點C作CH⊥OA于點H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CH=CD，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半進行解答．

解答：解：（1）如圖1所示，即為所要求作的圖形．
按步驟完成作圖過程（3分）；

（2）如圖2，過點C作CH⊥OA，垂足為H，（1分）
∵OM平分∠AOB，CD⊥OB，
∴CH=CD，
∵PC=2CD，
∴PC=2CH，
∴在△PCH中，∠HPC=30°，（1分）
∴∠AOB=30°．（1分）

點評：本題主要考查了角平分線的作法，作一個角等于已知角，過直線外一點作已知直線的垂線，都是基本作圖，需要熟練掌握，另外還考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質．