Question

7．將長方形OABC的頂點O與直角坐標(biāo)系的原點重合，點A，C分別在X軸，Y軸上，點B（a，b），且a，b滿足$\sqrt{a-3}$+（b+6）²=0．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）若點P從點B出發(fā)，以1單位/秒的速度向C點運動（不超過C點），同時點Q從C點出發(fā)以2單位/秒的速度向原點運動（不超過原點），試探討四邊形AQCP的面積在運動中是否會發(fā)生變化？求其值，若變化，求變化范圍．
（3）若過O點的直線OD交長方形的邊于點D，且直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，求點D的坐標(biāo)；
（4）若H（0，-1），點P（m，-3）在第三象限內(nèi)運動，則是否存在點P使四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積，若存在，求P點坐標(biāo)，不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出得到a-3=0，b+6=0，然后解方程求出a與b的值，再寫出B點坐標(biāo)；
（2）設(shè)運動的時間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），則可根據(jù)三角形面積公式和S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB計算得到S_{四邊形AQCP}=9，
即四邊形AQCP的面積在運動中不發(fā)生變化；
（3）分類討論：當(dāng)點D在AB上，如圖1，設(shè)D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，根據(jù)題意得（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點坐標(biāo)；當(dāng)點D在BC上，如圖2，設(shè)D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，根據(jù)題意得（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點坐標(biāo)；
（4）根據(jù)四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積得到$\frac{1}{2}$×5×|m|+$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{1}{2}$×6×3，然后解方程可得到滿足條件的m的值，從而得到P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-3}$+（b+6）²=0，
∴a-3=0，b+6=0，
∴a=3，b=-6，
∴B點坐標(biāo)為（3，-6）；
（2）四邊形AQCP的面積在運動中不會發(fā)生變化．
如圖1，設(shè)運動的時間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），
S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB
=3×6-$\frac{1}{2}$×3×（6-2t）-$\frac{1}{2}$×6×t
=9；
（3）當(dāng)點D在AB上，如圖3，設(shè)D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，
∵直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，
∴（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，
解得n=-$\frac{15}{4}$，
∴D點坐標(biāo)為（3，-$\frac{15}{4}$）；
當(dāng)點D在BC上，如圖2，設(shè)D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，
∵直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，
∴（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，
解得m=$\frac{3}{4}$，
∴D點坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，-6），
綜上所述，D點坐標(biāo)為（3，-$\frac{15}{4}$）或（$\frac{3}{4}$，-6）；

（4）存在．如圖4，∵四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積，
∴$\frac{1}{2}$×5×|m|+$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{1}{2}$×6×3，
而m＜0，
∴m=-$\frac{3}{5}$，
∴P點坐標(biāo)為（-$\frac{3}{5}$，-3）．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)特征計算線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了三角形的面積公式．