Question

【題目】如圖，曲線C由上半橢圓 和部分拋物線 連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為 ．

（1）求a，b的值；
（2）過點B的直線l與C1 ， C2分別交于點P，Q（均異于點A，B），是否存在直線l，使得PQ為直徑的圓恰好過點A，若存在直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在C1，C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半橢圓C1的左右頂點，

設(shè)C1的半焦距為c，由 及a2﹣c2=b2﹣1，

可得a=2，所以a=2，b=1

（2）

解：由（1），上半橢圓C1的方程為 ，

由題意知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（xP，yP），

因為直線l過點B，所以x=1是方程的一個根，

由求根公式，得 ，所以點P的坐標(biāo)為 ，

同理，由 ，得點Q的坐標(biāo)為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），

所以 ，

依題意可知AP⊥AQ，所以 ，即 ，

即 ，

因為k≠0，所以k﹣4（k+2）=0，解得 ，

經(jīng)檢驗， 符合題意，故直線l的方程為

【解析】（1）在C1 ， C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半橢圓C1的左右頂點，設(shè)C1的半焦距為c，由 及a2﹣c2=b2﹣1，聯(lián)立解得a．（2）由（1），上半橢圓C1的方程為 ，由題意知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為
y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，設(shè)點P的坐標(biāo)為（xP ， yP），由求根公式，得點P的坐標(biāo)為 ，同理，由 ，得點Q的坐標(biāo)為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），依題意可知AP⊥AQ，所以 ，即可得出k．