(2012•日照)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.
(Ⅰ)探究新知
如圖①,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,與三邊分別相切于點E、F、G.
(1)求證:內(nèi)切圓的半徑r1=1; 
(2)求tan∠OAG的值;
(Ⅱ)結(jié)論應用
(1)如圖②,若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1與AC、AB相切,⊙O2與BC、AB相切,求r2的值;
(2)如圖③,若半徑為rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1與AC、AB相切,⊙On與BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切,求rn的值.
分析:(Ⅰ)(1)根據(jù)切線的性質(zhì)以及正方形的判定得出四邊形CEOF是正方形,進而得出CE=CF=r1,再利用切線長定理求出即可;
(2)在Rt△AOG中,根據(jù)r1=1,AG=3-r1=2,求出tan∠OAG的值即可;
(Ⅱ)(1)由tan∠OAG=
1
2
,知tan∠O1AD=
1
2
,同理可得:tan∠O2BE=
O2E
BE
=
1
3
,進而得出AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2,即可求出r2=
5
7
;
(2)根據(jù)(1)中所求可以得出AD=2rn,DE=2rn,…,MB=3rn,得到2rn+2rn+…+3rn=5,求出即可.
解答:(Ⅰ)(1)證明:在圖①中,連接OE,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,與三邊分別相切于點E、F、G.
∴OF⊥BC,OE⊥AC,∠ACB=90°,
∴四邊形CEOF是矩形,
又∵EO=OF,
∴四邊形CEOF是正方形,
CE=CF=r1
又∵AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,
AG+BG=5,
∴(3-r1)+(4-r1)=5.
即r1=1.


(2)解:連接OG,在Rt△AOG中,
∵r1=1,AG=3-r1=2,
tan∠OAG=
OG
AG
=
1
2
;       
         
(Ⅱ)(1)解:連接O1A、O2B,作O1D⊥AB交于點D、O2E⊥AB交于點E,AO1、BO2分別平分∠CAB、∠ABC.
由tan∠OAG=
1
2
,知tan∠O1AD=
1
2
,
同理可得:tan∠O2BE=
O2E
BE
=
1
3

∴AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2
∵AD+DE+BE=5,
r2=
5
7
;
                                
(2)解:如圖③,連接O1A、OnB,作O1D⊥AB交于點D、O2E⊥AB交于點E、…、OnM⊥AB交于點M.
則AO1、BOn分別平分∠CAB、∠ABC.
tan∠O1AD=
1
2
,tan∠OnBM=
1
3

AD=2rn,DE=2rn,…,MB=3rn,
又∵AD+DE+…+MB=5,
2rn+2rn+…+3rn=5,
(2n+3)rn=5,
rn=
5
2n+3
點評:此題主要考查了切線長定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相切兩圓的性質(zhì),根據(jù)已知得出tan∠O1AD=
1
2
,tan∠O2BE=
O2E
BE
=
1
3
是解題關(guān)鍵.
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4x+6>1-x
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(3)
FC2
AB2
=
GF
GB

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