如圖所示，某學校擬建一個含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）．矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，∠ABC=60°．設AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面積為S米2．

（1）求S與x的函數(shù)關系式；
（2）學校準備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個三角形內(nèi)種植黃色花草．已知紅色花草的價格為20元/米2，黃色花草的價格為40元/米2．當x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用（結果保留根號）？
解：（1）連接AC、BD，

∵花壇為軸對稱圖形，
∴EH∥BD，EF∥AC。
∴△BEF∽△BAC。
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等邊三角形。
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
則EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x.
∴S=（4﹣x）×x=﹣x2+4x。
（2）易求得菱形ABCD的面積為8cm2，
由（1）得，矩形ABCD的面積為x2，則可得四個三角形的面積為（8+x2﹣4x），
設總費用為W，
則W=20（﹣x2+4x）+40（8+x2﹣4x）=20x2﹣80x+320
=20（x﹣2）2+240。
∵0＜x＜4，∴當x=2時，W取得最小，W最小=240元。
∴當x為2時，購買花草所需的總費用最低，最低費用為240元。

試題分析：（1）連接AC、BD，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數(shù)關系式。
（2）根據(jù)（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數(shù)關系式，利用配方法求最值即可。
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線拋物線（n為正整數(shù)，且0<a1<a2<…<an）與x軸的交點為An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，當n=1時，第1條拋物線與x軸的交點為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推．
（1）求a1,b1的值及拋物線y2的解析式；
（2）拋物線y3的頂點坐標為（       ，       ）；
依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為（       ，       ）;
所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系是       ；
（3）探究下列結論：
①若用An-1An表示第n條拋物線被x軸截得得線段長，直接寫出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在經(jīng)過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得得線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當點P的坐標為（﹣4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．連接AN，當△AMN的面積最大時，
①求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（2013年四川南充8分）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經(jīng)過點（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）⊙M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；
（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點E、F，若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標.

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，3），點C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數(shù)關系表達式及點C的坐標；
（2）點E為線段OC上一動點，以OE為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動．設平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標平面xOy中，拋物線C1的頂點為A(-1，4)，且過點B(-3，0)

(1)寫出拋物線C1與x軸的另一個交點M的坐標；
(2)將拋物線C1向右平移2個單位得拋物線C2，求拋物線C2的解析式；
(3)寫出陰影部分的面積S．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內(nèi)，設點B的對應點為點E．

（1）當m=3時，點B的坐標為       ，點E的坐標為         ；
（2）隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．
（3）如圖，若點E的縱坐標為－1，拋物線（a≠0且a為常數(shù)）的頂點落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y=﹣x2平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

有下列4個命題：
①方程的根是和．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=，則CD=3．
③點P（x，y）的坐標x，y滿足x2+y2+2x﹣2y+2=0，若點P也在的圖象上，則k=﹣1．
④若實數(shù)b、c滿足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，則關于x的方程x2+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，且較大的實數(shù)根x0滿足﹣1＜x0＜1．
上述4個命題中，真命題的序號是　 　．

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