Question

閱讀理解并回答問題．
（1）觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
（2）找出規(guī)律，并計算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（3）解方程：

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）觀察發(fā)現(xiàn)兩個相鄰正整數(shù)積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)的差；然后把式子

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

中得每個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的差，再進(jìn)行加減運算即可；
（3）先根據(jù)（2）的規(guī)律變形為

1

x

-

1

x+1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-4

-

1

x-3

=

1

x+1

，再整理可得

1

x+4

-

1

x+1

=

1

x+1

，然后去分母得x+1-（x+4）=x+4，解得x=-7，然后進(jìn)行檢驗確定原方程的解．

解答：解：（2）規(guī)律為：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n為正整數(shù)）；

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

x

-

1

x+1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-4

-

1

x-3

=

1

x+1

，

1

x+4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
去分母得x+1-（x+4）=x+4，
解得x=-7，
經(jīng)檢驗x=-7是原方程的解，
所以原方程的解為x=-7．

點評：本題考查了解分式方程：先把分式方程化為整式方程，解整式方程，然后進(jìn)行檢驗，把整式方程的解代入分式方程的分母中，若分母為零，則這個整式方程的解為分式方程的增根；若分母不為零，則這個整式方程的解為分式方程的解．