Question

9．在正方形ABCD中，AB=6，點E在邊AD上，DE=$\frac{1}{3}$AD．連接BE，將△ABE沿BE翻折，點A落在點F處，BF與AC交于點H，點O是AC的中點，連接OF并延長交CD于點G，則四邊形GFHC的面積是$\frac{5184}{2431}$．

Answer 1

分析 建立如圖坐標系，作FN⊥AD于N，延長BF交CD于M，連接AF．首先求出點F的坐標，再求出直線BM、OG、AC的解析式，利用方程組求出點H的坐標，根據(jù)S_{四邊形GFHC}=S_△CHM-S_△GFM計算即可．

解答 解：建立如圖坐標系，作FN⊥AD于N，延長BF交CD于M，連接AF．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AD=6，
∵DE=$\frac{1}{3}$DA=2，∴AE=4，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵四邊形ABFE的面積=$\frac{1}{2}$•AF•BE=2•$\frac{1}{2}$•AE•AB，
∴AF=$\frac{24\sqrt{13}}{13}$，
由△AFN∽△BEA，可得FN=$\frac{48}{13}$，AN=$\frac{72}{13}$，
∴DN=$\frac{6}{13}$，
∴F（$\frac{6}{13}$，$\frac{48}{13}$），D（3，3），A（6，0），B（6，6），
∴直線AC的解析式y(tǒng)=-x+6，
直線OG的解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{11}$x+$\frac{42}{11}$，可得DG=$\frac{42}{11}$，
直線BM的解析式y(tǒng)=$\frac{5}{12}$x+$\frac{7}{2}$，可得DM=$\frac{7}{2}$，GM=DG-DM=$\frac{7}{22}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{5}{12}x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{30}{17}}\\{y=\frac{72}{17}}\end{array}\right.$，可得H（$\frac{30}{17}$，$\frac{72}{17}$），
∴S_{四邊形GFHC}=S_△CHM-S_△GFM=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{7}{2}$）×$\frac{30}{17}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{22}$×$\frac{6}{13}$=$\frac{5184}{2431}$．

點評 本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理、平面坐標系、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是建立平面直角坐標系，學會利用一次函數(shù)確定兩條直線的交點坐標，屬于中考填空題中的壓軸題．