【題目】如圖,二次函數(shù) y=ax2﹣2ax+c(a>0)的圖象與 x 軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于 A、B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,它的頂點(diǎn)為 P,直線 CP 與過(guò)點(diǎn)B 且垂直于 x 軸的直線交于點(diǎn) D,且 CP:PD=1:2,tan∠PDB=

(1) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( , ); B( );

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M 使|MC﹣MB|的值最大,則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為

【答案】(1)﹣1,0;3,0;(2)y=x2x﹣;(3)(1,﹣

【解析】

(1)先求得拋物線的對(duì)稱軸為x=1,然后利用平行線分線段成比例定理求得OE:EB的值,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo),利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)過(guò)點(diǎn)CCFPE,垂足為F.先求得點(diǎn)C和點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含字母的式子表示),然后可得到PF=a,然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值,然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得c的值;

(3)根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC-MB|最大,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式,再根據(jù)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上代入計(jì)算即可得解.

(1)如圖所示:

∵由題意可知:拋物線的對(duì)稱軸為x=1,

OE=1.

OCPEBD,CP:PD=1:2,

=

BE=2.

OB=3.

B(3,0).

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于PE對(duì)稱,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0).

故答案是:﹣1,0;3,0;

(2)過(guò)點(diǎn)CCFPE,垂足為F.

x=0代入得:y=c,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,c).

x=1代入得y=﹣a+c.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,﹣a+c).

PF=a.

PEBDtanPDB=,

tanCPF=tanPDB=

解得a=

a=代入拋物線的解析式得:y=x2x+c.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得: ++c=0,解得:c=﹣

∴拋物線的解析式為y=x2x﹣

(3)由三角形的三邊關(guān)系,|MC﹣MB|<AC,

∴當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC﹣MB|最大,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

解得,

y=﹣x﹣,

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,

∴當(dāng)x=1時(shí),y=﹣×1﹣=﹣,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣).

故答案是:(1,﹣ ).

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