Question

19、如圖，已知AB是一條河，河的一邊有兩個(gè)村莊M和N，現(xiàn)要在河AB上修一個(gè)抽水站，請(qǐng)你在下圖中作出抽水站的位置P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離之和最短．
（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論） 
已知：
求作：

Answer 1

分析：作點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于點(diǎn)P，連接NP，由對(duì)稱的性質(zhì)可知N′P=NP，由兩點(diǎn)之間線段最短可知點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．

解答：已知：直線AB及其同側(cè)兩點(diǎn)M、N．
求作：直線AB上的點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離之和最短．
解：作點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于點(diǎn)P，連接NP．
∵N、N′關(guān)于直線AB對(duì)稱，
∴N′P=NP，
∴MP+NP=MP+N′P=MN′．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，線段MN′的長(zhǎng)即為MP+NP的最小值，故P點(diǎn)即為所求點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是尺規(guī)作圖和最短線路問(wèn)題，熟知對(duì)稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵，本題難度適中．