Question

【題目】如圖，中，，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒(>0).

(1)若點(diǎn)在上，且滿足，求此時(shí)的值;

(2)若點(diǎn)恰好在的角平分線上，求此時(shí)的值;

(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或5；（3）或3或或6.

【解析】

（1）設(shè)PC=x，可知，PA=PB=4-x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而，可以求出t的值；

（2）設(shè)PD=PC=y，則AP=3-y，在RtADP中，根據(jù)勾股定理，列出方程，進(jìn)而可求出t的值；

（3）分四種情況：當(dāng)P在AB上且AP=CP時(shí)，當(dāng)P在AB上且AP=AC=3時(shí)，當(dāng)P在AB上且AC=PC時(shí)，當(dāng)P在BC上且AC=PC=3時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求出t的值.

（1）∵點(diǎn)P在BC上，連接AP，

在RtABC中，AC=,

設(shè)PC=x，

∵PA=PB，

∴PA=PB=4-x，

∵在RtAPC中，，

∴，解得：，

∴，

∴AB+BP=5+=，

∴t=÷1=；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，

∴PD=PC，BC=BD=4，

∴AD=5-4=1，

設(shè)PD=PC=y，則AP=3-y，

在RtADP中，，

∴，解得：，

∴PC=,

∴t=

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P也在∠ABC的角平分線上，此時(shí)，t=5÷1=5；

綜上所述，點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上時(shí)，t 的值為或5s；

（3）分四種情況：

①如圖，當(dāng)P在AB上且AP=CP時(shí)，

∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠B=∠BCP，

∴CP=BP,

∴P是AB的中點(diǎn)，即AP==，

∴t=÷1=；

②如圖，當(dāng)P在AB上且AP=AC=3時(shí)，

t=3÷1=3；

③當(dāng)P在AB上且AC=PC時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則=，

∴在RtACD中，由勾股定理得；AD=，

∴AP=2AD=2×=，

∴t=÷1=

④當(dāng)P在BC上且AC=PC=3時(shí)，BP=4-3=1，

∴t=；

綜上所述，當(dāng)t=或3或或6s時(shí)，ACP是等腰三角形.