【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=2,∠A=∠B=30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與A、B重合),連接CD,作∠CDE=30°,DE交BC于點(diǎn)E.
(1)AB=;
(2)當(dāng)AD等于多少時(shí),△ADC≌△BED,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,求出AD的長(zhǎng);若不可以,說(shuō)明理由.
【答案】(1)2;(2)當(dāng)AD等于2-2時(shí),△ADC≌△BED,理由見(jiàn)解析;(3)△CDE可以是等腰三角形,此時(shí)AD的長(zhǎng)為2-2或.
【解析】
(1)過(guò)C作CM⊥AB于M,求出CM,根據(jù)勾股定理求出AM,代入AB=2AM求出即可.
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定得出BD=AC,求出BD,即可求出答案.
(3)分類討論:當(dāng)CD=DE時(shí);當(dāng)DE=CE時(shí);當(dāng)EC=CD時(shí);然后利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC或∠ACD的度數(shù),繼而根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可得.
(1)過(guò)C作CM⊥AB于M,
∵AC=BC,
∴AB=2AM,∠AMC=90°,
∵AC=2,∠A=30°,
∴CM=AC=1,
由勾股定理得:AM=,
∴AB=2AM=2,
故答案為:2;
(2)當(dāng)AD等于2-2時(shí),△ADC≌△BED,
理由是:∵∠A=∠CDE=∠B=30°,
∴∠ACD+∠ADC=150°,∠ADC+∠EDB=150°,
∴∠ACD=∠EDB,
∴當(dāng)AC=BD時(shí),△ADC≌△BED,
即BD=AC=2,
∴AD=AB-BD=2-2,
即得AD=2-2時(shí),△ADC≌△BED;
(3)△CDE可以是等腰三角形,
∵△CDE是等腰三角形,
①如圖1,當(dāng)CD=DE時(shí),
∵∠CDE=30°,
∴∠DCE=∠DEC=75°,
∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°,
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,則∠AFD=∠CFD=90°
∵∠A=30°,
∴∠ADF=60°,AD=2DF,
∴∠CDF=45°,
∴∠FCD=45°=∠FDC,
∴CF=DF,
在Rt△ADF中,AF=,
∵AF+CF=AC=2,
∴DF+DF=2,
∴DF=,
∴AD=2-2;
②如圖2,當(dāng)DE=CE時(shí),
∵∠CDE=30°,
∴∠DCE=∠CDE=30°,
∴∠ACD=120°-30°=90°,
∵∠A=30°,
∴CD=AD,
在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2,
即AD2=22+(AD)2,
∴AD=;
③當(dāng)EC=CD時(shí),
∠BCD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°,
∵∠ACB=180°-∠A-∠B=120°,
∴此時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,不合題意,
綜上,△ADC可以是等腰三角形,此時(shí)AD的長(zhǎng)為2-2或AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)在BD上,BE=DF,
(1)求證:AE=CF;
(2)若AB=3,∠AOD=120°,求矩形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4,E 是 BC 的中點(diǎn),點(diǎn) P 在射線 AD 上,過(guò)點(diǎn) P 作 PF⊥AE,垂足為 F.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)當(dāng)點(diǎn) P 在射線 AD 上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè) PA=x,是否存在實(shí)數(shù) x,使以 P,F(xiàn),E 為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE
相似?若存在,求出 x 的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題12分)如圖1,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<6),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.
(1)試用含t的式子表示AE、AD的長(zhǎng);
(2)如圖2,在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形AEFD是平行四邊形,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)連接DE,當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?
(4)如圖3,連接DE,將△ADE沿DE翻折得到△A′DE,試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AEA′D為菱形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題提出:
某校要舉辦足球賽,若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(即全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)),則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽?
構(gòu)建模型:
生活中的許多實(shí)際問(wèn)題,往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題.
為解決上述問(wèn)題,我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型:
(1)如圖①,我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)(任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上),其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì),兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把他們連接起來(lái).由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng),即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段,這樣一共連成5×4條線段,而每?jī)蓚(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次,實(shí)際只有 條線段,所以該校一共要安排 場(chǎng)比賽.
(2)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,借助圖②,我們可知該校一共要安排__________場(chǎng)比賽;
…………
(3)根據(jù)以上規(guī)律,若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,則該校一共要安排___________場(chǎng)比賽.
實(shí)際應(yīng)用:
(4)9月1日開(kāi)學(xué)時(shí),老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識(shí),請(qǐng)班上42位新同學(xué)每?jī)蓚(gè)人都相互握一次手,全班同學(xué)總共握手________________次.
拓展提高:
(5)往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車(chē),中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車(chē)站(每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱與下車(chē)站名稱),那么在這段線路上往返行車(chē),要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為__________種.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖末-10,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)求△ABC內(nèi)切圓的半徑;
(2)過(guò)O、A兩點(diǎn)作⊙M,分別交直線AB、AC于點(diǎn)D、E,求證:AD+AE是定值,并求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為響應(yīng)“書(shū)香校園”號(hào)召,重慶一中在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取某班學(xué)生對(duì)2016年全年閱讀中外名著的情況進(jìn)行調(diào)查,整理調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn),每名學(xué)生閱讀中外名著的本數(shù),最少的有5本,最多的有8本,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)該班學(xué)生共有 名,扇形統(tǒng)計(jì)圖中閱讀中外名著本數(shù)為7本所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是 度,并補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;
(2)根據(jù)調(diào)查情況,班主任決定在閱讀中外名著本數(shù)為5本和8本的學(xué)生中任選兩名學(xué)生進(jìn)行交流,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或表格求出這兩名學(xué)生閱讀的本數(shù)均為8本的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小紅爸爸上星期五買(mǎi)進(jìn)某公司股票1000股,每股28元,下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況。(單位:元)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
每股漲跌 | +4 | +4.5 | -1 | -2.5 | -6 |
(1)通過(guò)上表你認(rèn)為星期三收盤(pán)時(shí),每股是多少?
(2)本周內(nèi)每股最高是多少?最低是多少元?
(3)已知小紅爸爸買(mǎi)進(jìn)股票時(shí)付了的手續(xù)費(fèi),賣(mài)出時(shí)還需付成交額,的手續(xù)費(fèi)和的交易稅,如果小紅爸爸在星期五收盤(pán)時(shí)將全部股票賣(mài)出,你對(duì)他的收益情況怎樣評(píng)價(jià)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動(dòng),要求各學(xué)校開(kāi)展形式多樣的陽(yáng)光體育活動(dòng).某中學(xué)就“學(xué)生體育活動(dòng)興趣愛(ài)好”的問(wèn)題,隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖:
(1)在這次調(diào)查中,喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有 人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“乒乓球”的百分比為 %,如果學(xué)校有800名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中有 人喜歡籃球項(xiàng)目.
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)在被調(diào)查的學(xué)生中,喜歡籃球的有2名女同學(xué),其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表班級(jí)參加;@球隊(duì),請(qǐng)直接寫(xiě)出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.
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