【題目】“魅力數(shù)學(xué)”社團活動時,張老師出示了如下問題:

如圖,已知四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=120°,∠B與D互補,試探究線段AB,AD,AC之間的數(shù)量關(guān)系;

小敏反復(fù)探索,不得其解,張老師提示道:“數(shù)學(xué)中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路”,于是,小敏想,若將四邊形ABCD特殊化,看如何解決問題:

(1)特殊情況入手

添加條件:“∠B=∠D”,如圖易知在Rt△CDA中,DCA=30°,所以,寫出邊AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系,同理可得AB與AC的數(shù)量關(guān)系,由此得AB,AD,AC之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)解決原來問題

受到(1)的啟發(fā),在原問題上,添加輔助線,過點C分別作AB,AD的垂線,垂足分別為E、F,如圖,請寫出探究過程;

(3)解后反思

“一題多解”是數(shù)學(xué)解題的魅力之一,小敏在張老師的引導(dǎo)下,受探究結(jié)論的啟發(fā),結(jié)合圖中的60°角,通過構(gòu)造等邊三角形,利用三角形全等同樣解決了該問題,請在圖中作出輔助線,并簡述你的探究過程.

【答案】(1)AD=AC,AD+AB=AC;(2)AB+AD=AC,探究過程見解析;(3)AC= AB+AD.探究過程見解析.

【解析】

(1)根據(jù)∠B+D=180°且∠B=D知∠B=D=90°,由AC平分∠DAB,DAB=120°知∠DAC=BAC=60°,利用直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊的一半求解可得;

(2)先證CDF≌△CBEDF=BE,據(jù)此得AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=AC;

(3)延長AB到點E,使得AE=AC,據(jù)此可得ACE為等邊三角形,進一步知AC=EC,DAC=E=60°,證ADC≌△EBCAD=EB,進一步求解可得.

(1)∵∠B+D=180°,且∠B=D,

∴∠B=D=90°,

又∵AC平分∠DAB,DAB=120°,

∴∠DAC=BAC=60°,

∴∠ACD=ACB=30°,

AD=AC,AB=AC,

AD+AB=AC+AC=AC,

(2)AC為∠DAB的平分線,CFAD,CEAB,

CF=CE.

∵∠B與∠ADC互補,∠ADC與∠CDF互補,

∴∠CDF=B.

又∵∠F=CEB=90°,

∴△CDF≌△CBE(AAS),

DF=BE.

AB+AD

=AE+BE+AD

=AE+DF+AD

=AE+AF

=AC,

AB+AD=AC.

(3)如圖,延長AB到點E,使得AE=AC.

∵∠CAB=BAD=60°,

∴△ACE為等邊三角形.

AC=EC,DAC=E=60°.

又∵∠ABC與∠D互補,

∴∠D=CBE.

∴△ADC≌△EBC(AAS),

AD=EB.

AC=AE=AB+EB=AB+AD.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y=的圖象上的一點A(m,n)在第一象限內(nèi),點B在x軸的正半軸上,且AB=AO,過點B作BCx軸,與線段OA的延長線相交于點C,與反比例函數(shù)的圖象相交于點D.

(1)用含m的代數(shù)式表示點D的坐標(biāo);

(2)求證:CD=3BD;

(3)聯(lián)結(jié)AD、OD,試求ABD的面積與AOD的面積的比值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣2x的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象的對稱軸交于點B.

(1)寫出點B的坐標(biāo);
(2)已知點P是二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點,將直線y=﹣2x沿y軸向上平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點.若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似,則點P的坐標(biāo)為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解某市九年級學(xué)生學(xué)業(yè)考試體育成績,現(xiàn)從中隨機抽取部分學(xué)生的體育成績進行分段統(tǒng)計如下:

學(xué)業(yè)考試體育成績(分?jǐn)?shù)段)統(tǒng)計表

分?jǐn)?shù)段

人數(shù)(人)

頻率

A

48

0.2

B

a

0.25

C

84

0.35

D

36

b

E

12

0.05

分?jǐn)?shù)段為:(A:50分;B:49﹣45分;C:44﹣40分;D:39﹣30分;E:29﹣0分)

根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,a的值為 , b的值為 ,
(2)將統(tǒng)計圖補充完整(溫馨提示:作圖時別忘了用0.5毫米及以上的黑色簽字筆涂黑);
(3)甲同學(xué)說:“我的體育成績是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”請問:甲同學(xué)的體育成績應(yīng)在什么分?jǐn)?shù)段內(nèi)?(填相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的字母)
(4)如果把成績在40分以上(含40分)定為優(yōu)秀,那么該市今年10440名九年級學(xué)生中體育成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約有多少名?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本題8分)如圖,在五邊形ABCDE中,BCD=EDC=90°,BC=ED,AC=AD

(1)求證:ABC≌△AED;

(2)當(dāng)B=140°時,求BAE的度數(shù)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了解八年級學(xué)生的體能狀況,從八年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行八百米跑體能測試,測試結(jié)果分為A、B、C、D四個等級,請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:

(1)求本次測試共調(diào)查了多少名學(xué)生?

(2)求本次測試結(jié)果為B等級的學(xué)生數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;

(3)請你計算扇形統(tǒng)計圖中八年級學(xué)生體能測試結(jié)果為D等級的扇形圓心角的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠E=50°,BAC=50°,D=110°,求∠ABD的度數(shù).

請完善解答過程,并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù).

解:∵∠E=50°,BAC=50°,(已知)

∴∠E=   (等量代換)

      .(   

∴∠ABD+D=180°.(   

∴∠D=110°,(已知)

∴∠ABD=70°.(等式的性質(zhì))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,過點B作⊙O的切線,交AC的延長線于點F.已知OA=3,AE=2,
(1)求CD的長;
(2)求BF的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】點O為直線AB上一點,將一直角三角板OMN的直角頂點放在點O處.射線OC平分∠MOB.

(1)如圖1,若∠AOM=30°,求∠CON的度數(shù);

(2)在圖1中,若∠AOM=a,直接寫出∠CON的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示);

(3)將圖1中的直角三角板OMN繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,一邊OM在射線OB上方,另一邊ON在直線AB的下方.

①探究∠AOM和∠CON的度數(shù)之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由;

②當(dāng)∠AOC=3∠BON時,求∠AOM的度數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案