Question

某鎮(zhèn)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，豐富的花木產(chǎn)品只能在本地銷售．鎮(zhèn)政府對(duì)該花木產(chǎn)品每年固定投資x萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為P=-

1

50

(x-30)2+10萬(wàn)元．為了響應(yīng)我國(guó)西部大開發(fā)的宏偉決策，鎮(zhèn)政府在制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展的10年規(guī)劃時(shí)，擬定開發(fā)花木產(chǎn)品，而開發(fā)前后可用于該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)資金每年最多50萬(wàn)元．若開發(fā)該產(chǎn)品，在前5年中，必須每年從專項(xiàng)資金中拿出25萬(wàn)元投資修通一條公路；后5年公路修通時(shí)，花木產(chǎn)品除在本地銷售外，還可運(yùn)往外地銷售，運(yùn)往外地銷售的花木產(chǎn)品，每年固定投資x萬(wàn)元可獲利潤(rùn)Q=-

49

50

(50-x)2+

194

5

(50-x)+308萬(wàn)元．
（1）若不進(jìn)行開發(fā)，求10年所獲利潤(rùn)的最大值是多少？
（2）若按此規(guī)劃進(jìn)行開發(fā)，求10年所獲利潤(rùn)的最大值是多少？
（3）若按此規(guī)劃進(jìn)行開發(fā)后，后5年所獲利潤(rùn)共為2400萬(wàn)元，那么當(dāng)本地銷售投資金額大于外地銷售投資金額時(shí)，每年用于本地銷售投資的金額約為多少萬(wàn)元？（

13

≈3.606，

55

≈7.416，計(jì)算結(jié)果保留1位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）知道P的二次函數(shù)解析式，直接求出最大值，
（2）由題知若對(duì)產(chǎn)品開發(fā)，前5年，由于每年必須從專項(xiàng)資金中拿出25萬(wàn)元投資修公路，求出前5年最大利潤(rùn)，然后再求出后5年的利潤(rùn)，
（3）由（2）知，令W₃=2400，解得a．

解答：解：（1）由P=-

1

50

(x-30)2+10知
當(dāng)x=30時(shí)，P_最大=10
即不開發(fā)此產(chǎn)品，每年可獲得最大利潤(rùn)10萬(wàn)元．
∴不開發(fā)此產(chǎn)品，10年的最大利潤(rùn)為W₁=10×10=100（萬(wàn)元）；

（2）若對(duì)產(chǎn)品開發(fā)，前5年，由于每年必須從專項(xiàng)資金中拿出25萬(wàn)元投資修公路．
∴可用資金只有50-25=25（萬(wàn)元）
當(dāng)x=25時(shí)，每年最大利潤(rùn)P=-

1

50

(25-30)2+10=9.5(萬(wàn)元)
∴前5年的最大利潤(rùn)W₂=9.5×5=47.5（萬(wàn)元），
設(shè)后5年中，a萬(wàn)元用于本地銷售投資，
則用于外地銷售投資金額為（50-a）萬(wàn)元．
后5年的利潤(rùn)
W₃=[-

1

50

(a-30)2+10]×5+（-

49

50

a²+

194

5

a+308）×5
=-5a²+200a+1500
=-5（a-20）²+3500
∵-5＜0
∴當(dāng)a=20時(shí)，W₃取得最大值為3500萬(wàn)元．
∴10年的最大利潤(rùn)為W=W₂+W₃=47.5+3500=3547.5（萬(wàn)元）；

（3）令W₃=2400
則-5a²+200a+1500=2400
∴a²-40a+180=0，
a=

40±4 55

2

=20±2

55

a₁=20+2×7.416=34.832≈34.8萬(wàn)
a₂=20-2×7.416=5.168≈5.2萬(wàn)
∵本地投資金額＞外地投資金額
∴a=34.8．
即每年用于本地銷售投資的金額約為34.8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，比較簡(jiǎn)單．