Question

（2013•沈陽(yáng)）如圖，OC平分∠MON，點(diǎn)A在射線OC上，以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切與點(diǎn)B，連接BA并延長(zhǎng)交⊙A于點(diǎn)D，交ON于點(diǎn)E．
（1）求證：ON是⊙A的切線；
（2）若∠MON=60°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)A作AF⊥ON于點(diǎn)F，易證得AF=AB，即可得ON是⊙A的切線；
（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的長(zhǎng)，又由S_陰影=S_△AEF-S_扇形ADF，即可求得答案．

解答：（1）證明：過點(diǎn)A作AF⊥ON于點(diǎn)F，
∵⊙A與OM相切與點(diǎn)B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切線；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=

FE

AF

，
∴EF=AF•tan60°=2

3

，
∴S_陰影=S_△AEF-S_扇形ADF=

1

2

AF•EF-

60

360

×π×AF²=2

3

-

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．