Question

【題目】如圖所示，已知拋物線經過點A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與直線y＝x－4交于B ， D兩點．

（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標；
（2）點P為拋物線上的一個動點，且在直線BD下方，試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）點Q是線段BD上異于B、D的動點，過點Q作QF⊥x軸于點F ， 交拋物線于點G ． 當△QDG為直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c

∵拋物線經過點A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）

∴ ,解得.

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－8

點D的坐標為（－1，－5）

（2）

過P作PE∥y軸，交直線AB于點E

設P（x，x2－2x－8）則E（x，x－4）

∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4

∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)

＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)

＝－ (x－ )2＋

∴當x＝ 時，△BDP面積的最大值為

此時點P的坐標為（ ，－ ）

（3）

設直線y＝x－4與y軸相交于點K，則K（0，－4）

∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°

∵QF⊥x軸，∴∠DQG＝45°

若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形

①∠QDG＝90°，過D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，

∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），

x 2＝2，∴Q1（2，－2）

②∠DGQ＝90°，則DH＝QH，

∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）

綜上所述，當△QDG為直角三角形時，點Q的坐標為（2，－2）或（3，－1）

【解析】（1）設出一元二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出a、b、c的值；
（2）設出PE兩點的坐標，從圖中可以看出SBDP=SEPB+SEPD.運用二次函數(shù)的性質求出SBDP的的最值及P點的坐標；
（3）一次函數(shù)為y=x-4，則意味著∠OKB=∠OBK=45°，則如果△QDG是直角三角形，必定是等腰直角三角形。但接下來要分兩種情況去進行討論：①∠QDG=90°；②∠DGQ=90°.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關知識，掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�