Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（0，4）為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點(diǎn)A，AB是⊙C的切線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)開(kāi)始沿x軸正方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，得到P₁、Q₁兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)A、P₁、Q₁三點(diǎn)的拋物線解析式及對(duì)稱(chēng)軸l；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ與⊙C相切并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上存在一點(diǎn)N，使NP+NQ最小，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出t=1時(shí)，AP和OQ的長(zhǎng)，即可求得P₁，Q₁的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式．進(jìn)而可求出對(duì)稱(chēng)軸l的解析式．
（2）當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，連接CP，CQ則有Rt△CMP∽R(shí)t△QMC（M為PG與圓的切點(diǎn)），因此可設(shè)當(dāng)t=a秒時(shí)，PQ與圓相切，然后用a表示出AP，OQ的長(zhǎng)即PM，QM的長(zhǎng)（切線長(zhǎng)定理）．由此可求出a的值．
（3）本題的關(guān)鍵是確定N的位置，先找出與P點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)，連接P′Q，那么P′Q與直線l的交點(diǎn)即為所求的N點(diǎn)，可先求出直線P′Q的解析式，進(jìn)而可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得A、P₁、Q₁的坐標(biāo)分別為A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）（1分）
設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx+c
則

8=c 8=a+b+c 0=16a+4b+c

∴a=-

2

3

，b=

2

3

，c=8
∴所求拋物線為y=-

2

3

x²+

2

3

x+8
對(duì)稱(chēng)軸為直線l：x=

1

2

；

（2）設(shè)t=a時(shí)，PQ與⊙C相切于點(diǎn)M
連接CP、CM、CQ，則PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽R(shí)t△QMC
∴

CM

PM

=

QM

CM

即

4

a

=

4a

4

∴a=±2
由于時(shí)間a只能取正數(shù)，
所以a=2
即當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2時(shí)，PQ與⊙C相切
此時(shí)：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），
∴拋物線解析式為：y=-

1

6

x²+

1

3

x+8，
此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸l：x=1，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（0，8），
則直線P'Q的解析式為：y=-x+8，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+8=7．
因此N點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)．