【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.

(1)請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式;

(2)判斷ABC的形狀,并說明理由;

(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo);

(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)N作NMAC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)△ABC是直角三角形(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0)(4)當(dāng)AMN面積最大時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0

【解析】

試題(1)由A點(diǎn)坐標(biāo)確定解析式中c值,再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a值,從而確定此解析式;(2)根據(jù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo),在Rt△AOB中,利用勾股定理求出AB,在Rt△AOC中,利用勾股定理求出AC,然后利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證△ABC是直角三角形;(3)滿足△ANC為等腰三角形的N點(diǎn)有四個(gè),在x軸負(fù)半軸有兩點(diǎn),滿足AN=AC,AC=NC,在x軸正半軸存在兩點(diǎn),滿足AN=CN,AC=NC,然后先求出AC長(zhǎng),利用等腰三角形兩腰相等,和勾股定理易求出N點(diǎn)橫坐標(biāo),因?yàn)?/span>Nx軸上,所以縱坐標(biāo)是0,從而得到N點(diǎn)坐標(biāo).(4)先找到自變量,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D,利用平行線分線段成比例定理和三角形相似把MDn表示出來,這樣△AMN的面積就用△ABN的面積減去△BMN的面積,從而建立Sn的二次函數(shù),討論n的取值及函數(shù)最大值,即可求出△AMN面積最大時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo).

試題解析:(1∵A0,4),∴c=4,,把點(diǎn)C坐標(biāo)(8,0)代入解析式,得:a=,二次函數(shù)表達(dá)式為;(2)令y=0,則解得,x1=8x2="-2" ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-20),由已知可得,在Rt△AOB中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOCAC2=AO2+CO2=42+82=80,又∵BC=OB+OC=2+8=10,△ABCAB2+ AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形;(3)由勾股定理先求出AC,AC==,x軸負(fù)半軸,當(dāng)AC=AN時(shí),NO=CO=8,此時(shí)N-80);x軸負(fù)半軸,當(dāng)AC=NC時(shí),NC=AC=,∵CO=8,∴NO=-8,此時(shí)N8-,0);x軸正半軸,當(dāng)AN=CN時(shí),設(shè)CN=x,則AN=x,ON=8-x,在Rt△AON中,=,得:x=5∴ON=3,此時(shí)N3,0);x軸正半軸,當(dāng)AC=NC時(shí),AC=NC=,∴ON=8,此時(shí)N80);綜上所述:滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)是(-8,0)、(8-,0)、(30)、(8+,0);(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D,∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,∵M(jìn)N∥AC,,,∵OA=4BC=10,BN=n+2,∴MD=n+2),∵SAMN= SABN- SBMN=

=+5,<0,∴n=3時(shí),S有最大值,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(30).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1______,______

2)運(yùn)動(dòng)開始前,兩點(diǎn)之間的距離為________;

3)它們按上述方式運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會(huì)相遇?相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是什么?

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(1)求甲公司經(jīng)營(yíng)的蛋糕店數(shù)量和該市蛋糕店的總數(shù);

(2)甲公司為了擴(kuò)大市場(chǎng)占有率,決定在該市增設(shè)蛋糕店數(shù)量達(dá)到全市的20%,求甲公司需要增設(shè)的蛋糕店數(shù)量.

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