【題目】如圖，在△ABC中，D、F分別是BC、AC邊的中點，連接DA、DF，且AD＝2DF，過點B作AD的平行線交FD的延長線于點E．

（1）求證：四邊形ABED為菱形；

（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四邊形ABEF的面積．

【答案】(1)詳見解析;(2)

【解析】

（1）由三角形中位線定理得出DF∥AB，DF=AB，證出四邊形ABED是平行四邊形，證出AD=AB，得出四邊形ABED為菱形；
（2）過B作BG⊥EF于G，由菱形的性質(zhì)得出AB=BE=DE=BD=6，得出DF=3，EF=9，證出△BDE是等邊三角形，得出DG=DE=3，故BG=DG=3，由梯形面積公式即可得出結果．

（1）證明：在△ABC中，D、F分別是BC、AC邊的中點，

∴DF是△ABC的中位線，

∴DF∥AB，DFAB，

∵BE∥AD，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∵AD＝2DF，

∴AD＝AB，

∴四邊形ABED為菱形；

（2）過B作BG⊥EF于G，

∵四邊形ABED為菱形，

∴AB＝BE＝DE＝AD＝6，

∴DF＝3，EF＝9，

∵∠E＝60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∵BG⊥EF，

∴DGDE＝3，

∴BGDG＝3，

∴四邊形ABEF的面積．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象分別交，于點和點，且的面積為．

（1）求直線的解析式；

（2）求反比例函數(shù)解析式；

（3）求點的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市要進一批雞蛋進行銷售，有、兩家農(nóng)場可供貨．為了比較兩家提供的雞蛋單個大小，超市分別對這兩家農(nóng)場的雞蛋進行抽樣檢測，通過分析數(shù)據(jù)確定雞蛋的供貨商．

（1）下列抽樣方式比較合理的是哪一種？請簡述原因．

①分別從、兩家提供的一箱雞蛋中拿出最上面的兩層（共40枚）雞蛋，并分別稱出其中每一個雞蛋的質(zhì)量．

②分別從、兩家提供的一箱雞蛋中每一層隨機抽4枚（共40枚）雞蛋，并分別稱出其中每個雞蛋的質(zhì)量．

（2）在用合理的方法抽出兩家提供的雞蛋各40枚后，分別稱出每個雞蛋的質(zhì)量（單位：），結果如表所示（數(shù)據(jù)包括左端點不包括右端點）．

45～47

47～49

49～51

51～53

53～55

農(nóng)場雞蛋

2

8

15

10

5

農(nóng)場雞蛋

4

6

12

14

4

①如果從這兩家農(nóng)場提供的雞蛋中隨機拿一個，分別估計兩家雞蛋質(zhì)量在（單位：）范圍內(nèi)的概率（數(shù)據(jù)包括左端點不包括右端點）；

②如果你是超市經(jīng)營者，試通過數(shù)據(jù)分析確定選擇哪家農(nóng)場提供的雞蛋．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線交軸于兩點，與軸交于點，連接．點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標為．

(1)求此拋物線的表達式；

(2)過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)過點作，垂足為點．請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線（，是常數(shù)，且），經(jīng)過點，，與軸交于點.

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）若點是射線上一點，過點作軸的垂線，垂足為點，交拋物線于點，設點橫坐標為，線段的長為，求出與之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點在線段上時，設，已知，是以為未知數(shù)的一元二次方程（為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，點在拋物線上，連接，，，且平分，求出值及點的坐標.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和點A（0，﹣3），將點A向右平移2個單位，再向上平移5個單位，得到點B．

（1）求點B的坐標；

（2）求拋物線C1的對稱軸；

（3）把拋物線C1沿x軸翻折，得到一條新拋物線C2，拋物線C2與拋物線C1組成的圖象記為G，若圖象G與線段AB恰有一個交點時，結合圖象，求a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務．

托勒密定理：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學家，他的要著作《天文學大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

求證：ABCD+BCAD＝ACBD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E．

∵

∴∠ABE＝∠ACD

∴△ABE∽△ACD

∴

∴ABCD＝ACBE

∵

∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）

∵∠BAE＝∠CAD

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC

即∠BAC＝∠EAD

∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）

∴ADBC＝ACED

∴ABCD+ADBC＝AC（BE+ED）

∴ABCD+ADBC＝ACBD

任務：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

（2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：　 　．

（請寫出）

（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為的中點，求AC的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，連接點為上一點，使得連接交于點，作交的延長線于點．

（1）求證：．

（2）若求的長．

（3）在（2）的條件下，將沿著對折得到點的對應點為點，連接試求的周長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點A，點C在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，OC交AB于點D，若CD＝OD，則△AOD與△BCD的面積比為__．

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