Question

如圖，AB是圓O的直徑，AD、BC垂直于AB，AD=13，BC=16，DC=5，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)時(shí)時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)P從A向Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，四邊形PQCD的面積S與t的關(guān)系式．
（2）是否存在時(shí)間t，使得梯形PQCD是等腰梯形？若存在求出時(shí)間t，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑AB，要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達(dá)出CQ和PD．
（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，CQ'-P'D=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四邊形ADEB為矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

DC2-CE2

=4cm，
當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=t，CQ=2t，PD=AD-AP=（13-t），
則S=

1

2

（13-t+2t）×4，即y=2t+26（0≤t≤8）；

（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，過(guò)P作PF⊥BC于F，如圖：
，
則有Q'F=CE=3．
即CQ'-P'D=Q'F+CE，即2t-（13-t）=6，
解得：t=

19

3

．
即當(dāng)t=

19

3

時(shí)，梯形PQCD是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用含t的式子表示出各線段的長(zhǎng)度，另外要求我們熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)，難度較大．