Question

如圖1，已知拋物線y=-x²+b x+c經過點A（1，0），B（-3，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點E為線段BC上一個動點（不與B，C重合），經過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于BC的直線交于點F，當△OEF面積取得最小值時，求點E坐標．

Answer 1

分析：（1）將點A（1，0），B（-3，0）兩點代入拋物線y=-x²+b x+c求出即可；
（2）首先設P點（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）利用S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC=S_△BDP+S_{四邊形PDOC}-

1

2

×3×3進而求出即可；
（3）根據(jù)圓周角定理得出OE=OF，∠EOF=90°，利用S△OEF=

1

2

OE•OF=OE²，進而分析得出OE最小時，△OEF面積取得最小值，進而得出E點在BC的中點時，即可得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+b x+c經過點A（1，0），B（-3，0）兩點，
∴

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=3

；

（2）存在．
理由如下：如圖1，
設P點（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC
=S_△BDP+S_{四邊形PDOC}-

1

2

×3×3
=

1

2

（3+x）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x²-2x+3）×（-x）-

9

2

=-

3

2

x2-

9

2

x
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

27

8

，
當x=-

3

2

時，∴S_△BPC最大=

27

8

，
當x=-

3

2

時，-x²-2x+3=

15

4

，
∴點P坐標為：（-

3

2

，

15

4

）；

（3）如圖2，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，而∠OEF=∠OBF=45°，∠OFE=∠OBE=45°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴S△OEF=

1

2

OE•OF=

1

2

OE²
∴當OE最小時，△OEF面積取得最小值，
∵點E在線段BC上，∴當OE⊥BC時，OE最小，
此時點E是BC中點，∴E（-

3

2

，

3

2

）．
另：可設E（x，x+3），OE²=x²+（x+3）²=2x²+6x+9
∴S△OEF=

1

2

OE•OF=x2+3x+

9

2

=(x+

3

2

)2+

9

4

∴當x=-

3

2

時，S_△OEF取最小值，此時x+3=-

3

2

+3=

3

2

，
∴E（-

3

2

，

3

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及二次函數(shù)最值問題和圖形面積求法等知識，利用圓周角定理得出EO=FO進而分析得出OE最小時，△OEF面積取得最小值是解題關鍵．