Question

    (為方便答題，可在答題卡上畫出你認為必要的圖形)

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC = AB = 4，D，E分別是邊AB，AC的中點.若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰RtRt△AD₁E₁，設旋轉角為α（0＜α≤180°），記直線BD₁與CE₁的交點為P.

(1)如圖1，當α=90°時，線段BD₁的長等于   ，線段CE₁的長等于   ；（直接填寫結果）

(2)如圖2，當α=135°時，求證：BD₁ = CE₁ ，且BD₁ ⊥ CE₁ ；

(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結果）

 

Answer 1

解：（1）BD₁ = 2，CE₁ = 2       ……2分

        （2）證明：當α=135°時，由旋轉可知∠D₁AB = E₁AC = 135°     ……3分

                    又AB=AC，AD₁=AE₁，∴△D₁AB ≌ △E₁AC             ……4分

                    ∴BD₁=CE₁ 且 ∠D₁BA = E₁CA                        ……5分

                    設直線BD₁與AC交于點F，有∠BFA=∠CFP            ……6分

                    ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD₁⊥CE₁                   ……7分

            （3）1 +                                             ……11分

（四邊形AD₁PE₁為正方形時，距離最大，此時PD₁=2，PB=2+2）