Question

如圖1，AB是圓O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是圓O上半部分的一個動點，連接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面積；

（2）求∠OCP的最大度數(shù)；設∠OCP=α，當線段CP與圓O只有一個公共點（即P點）時，求α的范圍（直接寫出答案）；

（3）如圖2，延長PO交圓O于點D，連接DB，當CP=DB，求證：CP是圓O的切線．

Answer 1

（1）解：∵AB=4，

∴OB=2，OC=OB+BC=4．

在△OPC中，設OC邊上的高為h，

∵S_△OPC=OC•h=2h，

∴當h最大時，S_△OPC取得最大值．

觀察圖形，當OP⊥OC時，h最大，如答圖1所示：

此時h=半徑=2，S_△OPC=2×2=4．

∴△OPC的最大面積為4．

（2）解：當PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如答圖2所示：

∵sin∠OCP===，

∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度數(shù)為30°．

∴設∠OCP=α，當線段CP與圓O只有一個公共點（即P點）時，0＜α≤30°；

（3）證明：圖3，連接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，

∵=，

∴=，

∴AP=BD，

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，

在△ODB與△BPC中，

，

∴△ODB≌△BPC（SAS），

∴∠D=∠BPC，

∵PD是直徑，

∴∠DBP=90°，

∴∠D+∠BPD=90°，

∴∠BPC+∠BPD=90°，

∴DP⊥PC，

∵DP經(jīng)過圓心，

∴PC是⊙O的切線．