Question

如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別相交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P．
①求該拋物線的解析式和A點的坐標；
②連接AC，BP，求證：△BCP∽△OCA；
③在x軸上找一點Q，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：①確定B，C的坐標，代入拋物線y=x²﹢bx﹢c得到b，c的值．
②△BCP和△OCA的三條邊都可求出，利用三邊對應比證明．
③△ABC的∠B等于45°，確定Q點在B點左邊．通過對應邊的比求出QB，得到Q點坐標．
解答：解：①y=-x+3，
x=0時，y=3，
y=0時，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x²+bx+c得：，
解得：b=-4，c=3，
即拋物線的解析式是：y=x²-4x+3，（2分）
當y=0時，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
即A的坐標是（1，0）．

②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=3，CP=2，BP=，AC=，OC=3，OA=1，
∴===，
∴△BCP∽△OCA

③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴點Q只能在點B的左側，
若，
即
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴點Q坐標為（0，0）；
若，即，
解得BQ=，點Q的坐標為（，0）．（9分）
點評：①點在圖象上那么它的坐標滿足圖象的解析式，在用待定系數法前要確定點的坐標．②判斷兩個三角形相似看條件選擇定理．③對于沒有確定對應關系的相似三角形要分類討論．