精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于F,垂足為E.則結(jié)論:①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4
分析:①根據(jù)BC=AC,∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°,再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°,在Rt△ACD與Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,可求出∠EAF=∠FBC,由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC,故可求出AD=BF;
②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出結(jié)論;
③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知,CF=CD,故AC+CD=AC+CF=AF,∠CBF=∠EAF=22.5°,在Rt△AEF中,∠F=90°-∠EAF=67.5°,根據(jù)∠CAB=45°可知,∠ABF=180°-∠EAF-∠CAB=67.5°,即可求出AF=AB,即AC+CD=AB;
④由③可知,△ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,故BE=
1
2
BF,在Rt△BCF中,若BE=CF,則∠CBF=30°,與②中∠CBF=22.5°相矛盾,故BE≠CF;
⑤由③可知,△ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解答.
解答:解:①∵BC=AC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠EAF=22.5°,
∵在Rt△ACD與Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,
∴∠EAF=∠FBC,
∵BC=AC,∠EAF=∠FBC,∠BCF=∠AEF,
∴Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴AD=BF;
故①正確;
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴CF=CD,
故②正確;
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴CF=CD,AC+CD=AC+CF=AF,
∵∠CBF=∠EAF=22.5°,
∴在Rt△AEF中,∠F=90°-∠EAF=67.5°,
∵∠CAB=45°,
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°,
∴AF=AB,即AC+CD=AB,
故③正確;
④由③可知,△ABF是等腰三角形,
∵BE⊥AD,
∴BE=
1
2
BF,
∵在Rt△BCF中,若BE=CF,則∠CBF=30°,與②中∠CBF=22.5°相矛盾,
故BE≠CF,
故④錯(cuò)誤;
⑤由③可知,△ABF是等腰三角形,
∵BE⊥AD,
∴BF=2BE,
故⑤正確.
所以①②③⑤四項(xiàng)正確.
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì),熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜邊的中點(diǎn),向斜邊作垂線,畫出一個(gè)新的等腰三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫出的直角三角形的斜邊與△ABC的BC重疊,這時(shí)這個(gè)三角形的斜邊為
( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長(zhǎng)是
16
cm.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案