Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點(diǎn)E．⊙O的切線BF與弦AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且AC=8，tan∠BDC=

3

4

．
（1）求⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）求線段CF長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過O作OH垂直于AC，利用垂徑定理得到H為AC中點(diǎn)，求出AH的長(zhǎng)為4，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出圓的半徑OA的長(zhǎng)；
（2）由AB垂直于CD得到E為CD的中點(diǎn)，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的長(zhǎng)以及tanA的值求出CE與AE的長(zhǎng)，由FB為圓的切線得到AB垂直于BF，得到CE與FB平行，由平行得比例列出關(guān)系式求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)AF-AC即可求出CF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）作OH⊥AC于H，則AH=

1

2

AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=

3

4

，
∴OH=3，
∴半徑OA=

AH2+OH2

=5；

（2）∵AB⊥CD，
∴E為CD的中點(diǎn)，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=

3

4

，
設(shè)CE=3k，則AE=4k，
根據(jù)勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=

8

5

，
則CE=DE=

24

5

，AE=

32

5

，
∵BF為圓O的切線，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴

AC

AF

=

AE

AB

，即

8

AF

=

32 5

10

，
解得：AF=

25

2

，
則CF=AF-AC=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．