Question

如下圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒)．

(1)設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2AO＝OB時，求∠BQP的正切值；

(4)是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形． 　　∴PM＝DC＝12∵QB＝16－t， 　　∴S＝×12×(16－t)＝96－t 　　(2)由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t．以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況： 　�、偃鬚Q＝BQ．在Rt△PMQ中，， 　　由PQ2＝BQ2得，解得t＝； 　�、谌鬊P＝BQ．在Rt△PMB中，．由BP2＝BQ2得： 　　即． 　　由于Δ＝－704＜0 　　∴無解，∴PB≠BQ 　�、廴鬚B＝PQ．由PB2＝PQ2，得 　　整理，得．解得(不合題意，舍去) 　　綜合上面的討論可知：當(dāng)t＝秒時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形． 　　(3)如下圖，由△OAP∽△OBQ，得 　　∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t． 　　∴t＝． 　　過點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E， 　　∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t． 　　在RT△PEQ中，tan∠QPE＝ 　　(4)設(shè)存在時刻t，使得PQ⊥BD．如下圖， 　　過點(diǎn)Q作QE⊥ADS，垂足為E． 　　由Rt△BDC∽Rt△QPE，得 　　，即．解得t＝9 　　所以，當(dāng)t＝9秒時，PQ⊥BD．