Question

實驗與探究
（1）在圖1、圖2、圖3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標，寫出圖1、圖2、圖3中的頂點C的坐標，它們分別是______，______．
（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（C點坐標用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）；


歸納與發(fā)現(xiàn)
（3）通過對圖1、圖2、圖3、圖4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點C坐標為（m，n）（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關(guān)系為______；縱坐標b，d，n，f之間的等量關(guān)系為______（不必證明）；
運用與推廣
（4）在同一直角坐標系中有雙曲線和三個點，H（2c，0）（其中c＞0）．問當c為何值時，該雙曲線上存在點P，使得以G，S，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點坐標．

Answer 1

解：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，
得出圖1、圖2，3中頂點C的坐標分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設(shè)C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
（此問解法多種，可參照評分）

（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．

（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．
要使P₁在雙曲線上，
則有-14c²=-14，
∴c₁=-1（根據(jù)其中c＞0，舍去），c₂=1．此時P₁（-2，7）．
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時P₂（3，2）不在雙曲線上．
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時P₃（1，-2）不在雙曲線上．
綜上所述，當c=1時，雙曲線上存在點P，使得以G，S，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形．
符合條件的點有P₁（-2，7）．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點C的坐標分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據(jù)內(nèi)角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設(shè)C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點C的坐標．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點的坐標為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．要使P₁在雙曲線上，則有-14c²=-14，求出c的實際取值以及P₁的坐標，若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），同理可得c=1，此時P₂（3，2）；若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），同理可得c=1，此時P₃（1，-2）；故綜上所述可得解．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標系內(nèi)的坐標，平行線的性質(zhì)等知識．理解平行四邊形的特點結(jié)合平面直角坐標系是解決本題的關(guān)鍵．