Question

16．如圖，直線y=$\frac{1}{3}$x+1與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，連結(jié)BC，若∠ACB=135°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　　）

• A． （1，0）
• B． （$\sqrt{2}$，0）
• C． （2，0）
• D． （$\sqrt{5}$，0）

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)D，根據(jù)直線解析式求得OC=1、OA=3，由∠ACB=135°知∠BCD=∠CBD=45°，從而可設(shè)BD=CD=x，證△AOC∽△ADB得$\frac{AO}{AD}$=$\frac{OC}{DB}$，即$\frac{3}{\sqrt{10}+x}$=$\frac{1}{x}$，解之可得x的值，可知BC=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理求得OB的長可得答案．

解答 解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)D，

在直線y=$\frac{1}{3}$x+1中，當(dāng)x=0時，y=1，即OC=1，
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{3}$x+1=0，
解得：x=-3，即AO=3，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴設(shè)BD=CD=x，
∵∠AOC=∠ADB=90°，∠OAC=∠DAB，
∴△AOC∽△ADB，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{OC}{DB}$，即$\frac{3}{\sqrt{10}+x}$=$\frac{1}{x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{5}$，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．