Question

【題目】拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn).有下列結(jié)論：①方程的一個(gè)根是x=-2；②若，則；③若時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；④若時(shí)，，則.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，可得c=2， b=2a，將x=-2代入即可判斷①；根據(jù)函數(shù)的圖像及是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn).且，得當(dāng)x=1時(shí)y=3a+2，當(dāng)x=2時(shí)y=8a+2，則可判斷②; 若時(shí)，方程為：,求出判別式大于零，則可判斷③；求出時(shí)，y的范圍，并使得其左右端點(diǎn)與的對(duì)應(yīng)端點(diǎn)相等，即可判斷④.

解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，

∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得圖象經(jīng)過（-2，0）且c=2；

∴方程的一個(gè)根是x=-2，故①正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸是直線

∴-=-1，∴b=2a；

∴拋物線為：；

∵是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn).且

∴當(dāng)x=1時(shí)y=3a+2，當(dāng)x=2時(shí)y=8a+2；

∴，故②正確；

∵若時(shí)，方程為：

∴，∵，∴

∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸是直線

∴當(dāng)x=-1時(shí)y有最大值為：-a+2，且x=與x=的函數(shù)值相等，

∵拋物線開口向下，當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y的函數(shù)值為：2，

∵若時(shí)，，

∴-a+2=3，∴a=-1，故④正確；

故選：D．