【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF;

(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)求證:AB=CE+BF;
(3)若∠CAE=30°,求∠ACF度數(shù).

【答案】
(1)證明:∵∠ABC=90°,

∴∠ABE=∠CBF=90°,

在Rt△ABE和Rt△CBF中,

,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)


(2)證明:∵Rt△ABE≌Rt△CBF,

∴AB=BC,BE=BF,

∵BC=BE+CE,

∴AB=CE+BF


(3)∵AB=CB,∠ABC=90°,∠CAE=30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,

∴∠BCA=∠BAC=45°,

∴∠EAB=15°,

∵Rt△ABE≌Rt△CBF,

∴∠EAB=∠FCB,

∴∠FCB=15°,

∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°,

即∠ACF=60°


【解析】(1)易由由所給條件已有“HL”得到Rt△ABE≌Rt△CBF。
(2)由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF,可由等量代換得到AB=CE+BF;
(3)由等腰直角三角形性質(zhì)易得∠BCA=∠BAC=45°題干給了∠CAE=30°,所以易得∠EAB=15°,由(1)中相似可知∠FCB=15°即∠ACF=60°

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