Question

【題目】如圖，A(－2，2）、AB⊥x軸于點(diǎn)B，AD⊥y軸于點(diǎn)D，C（－2，1）為AB的中點(diǎn)，直線CD交x軸于點(diǎn)F．

（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF且交x軸于點(diǎn)E，求證：∠ADC＝∠EDC；

（3）求點(diǎn)E坐標(biāo)；

（4）點(diǎn)P是直線CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PB＋PF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）證明見(jiàn)解析；（3）E（，0）；（4）PB+PF的最小值為.

【解析】

（1）由題意先求出D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線CD的函數(shù)關(guān)系式；

（2）可先證明△ADC≌△BFC，利用全等三角形的性質(zhì)得CF=CD，∠BFC=∠ADC，從而可證明DE=EF，最后利用等邊對(duì)等角及等量代換即可證明∠ADC=∠EDC；

（3）利用直線CD的函數(shù)關(guān)系式可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，從而得到OF=4，設(shè)OE=x，則EF=DE=4－x，最后在Rt△DOE中利用勾股定理建立方程即可求出OE得到點(diǎn)E坐標(biāo)；

（4）由（2）可知點(diǎn)D與F關(guān)于直線CE對(duì)稱，連接BD交直線CE于點(diǎn)P，則可知P點(diǎn)即為滿足條件的動(dòng)點(diǎn)，由勾股定理可求得BD的長(zhǎng)，即PB+PF的最小值．

解：（1）∵A(－2，2），AD⊥y軸于點(diǎn)D，

∴D(0，2)，

設(shè)直線CD解析式為y=kx+b(k≠0)，把點(diǎn)D(0，2)，C(－2，1)，代入得：，

解得，

∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=x+2；

（2）∵C是AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC，

∵AD⊥y軸于點(diǎn)D，

∴AD∥x軸，

∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴∠A=∠CBF=90°，

在△ACD和△BCF中，，

∴△ACD≌△BCF(ASA)，

∴CF=CD，∠BFC=∠ADC，

∵CE⊥DF，

∴CE垂直平分DF，

∴DE=FE，

∴∠EDC=∠EFC，

∴∠ADC=∠EDC；

（3）∵直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=x+2，

∴把y=0代入得0=x+2，解得x=－4，

∴F（－4，0），

∴OF=4，

∵D（0，2），

∴OD=2，

設(shè)OE=x，則EF=DE=4－x，

在Rt△DOE中，，解得x=，即OE=，

∴E（，0）；

（4）如圖，連接BD交直線CE于點(diǎn)P，

由（2）可知點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線CE對(duì)稱，

∴PD=PF，

∴PB+PF=PB+PD≥BD，

∵A(－2，2），AB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴B(－2，0)，

∴BD=，

∴PB+PF的最小值為.