Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F．

（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠CAD=∠BCF，

∵BF∥AC，

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵ ，

∴△ACD≌△CBF；

（2）解：證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BCE=∠CAE．

∵AC⊥BC，BF∥AC．

∴BF⊥BC．

∴∠ACD=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵ ，

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF．

∵CD=BD= BC，

∴BF=BD．

∴△BFD為等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．

∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，

即AB垂直平分DF

【解析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，AC=BC，求得∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求得∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF，
（2）利用同角的余角相等得出，∠BCE=∠CAE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACD=∠CBF=90°，然后由ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．