【題目】如圖,拋物線y=mx2-16mx+48m(m>0)與x軸交于A、B兩點(點B在點A左側(cè)),與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點,且位于第四象限,連接OD、BD、AC、AD,延長AD交y軸于點E.
(1)若△OAC為等腰直角三角形,求m的值.
(2)若對任意m>0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱,求點D的坐標(biāo)(用含m的式子表示).
(3)當(dāng)點D運動到某一位置時,恰好使得∠ODB=∠OAD,且點D為線段AE的中點,此時對于該拋物線上任意一點P(x0,y0)總有n≥-4my02-12y0-50成立,求實數(shù)n的最小值.
【答案】(1)m=;(2)點D的坐標(biāo)為(8,-16m);(3)實數(shù)n的最小值為
【解析】
(1)根據(jù)y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12),可得A(12,0),C(0,48m),再根據(jù)OA=OC,即可得到12=48m,進而得出m的值;
(2)根據(jù)C、E兩點總關(guān)于原點對稱,得到E(0,48m),根據(jù)E(0,48m),A(12,0)可得直線AE的解析式,最后解方程組即可得到直線AE與拋物線的交點D的坐標(biāo);
(3)根據(jù)△ODB∽△OAD,可得OD=4,進而得到D(6,2),代入拋物線y=mx216mx+48m,求出m可得拋物線解析式,再根據(jù)點P(x0,y0)為拋物線上任意一點,即可得出y0≥,令t=-4my02-12y0-50,求出t最大值=2()2+4=,即可得實數(shù)n的最小值為.
解:(1)令y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)=0,
則x1=12,x2=4,
∴A(12,0),即OA=12,
又∵C(0,48m),
∴當(dāng)△OAC為等腰直角三角形時,OA=OC,即12=48m,
∴m=;.
(2)由(1)可知點C(0,48m),
∵對任意m>0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱,
∴必有E(0,-48m),
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b(k≠0),
將E(0,-48m),A(12,0)代入,可得 ,解得,
∴直線AE的解析式為y=4mx-48m,
∵點D為直線AE與拋物線的交點,
∴解方程組,得或(舍去),
∴點D的坐標(biāo)為(8,-16m);
(3)當(dāng)∠ODB=∠OAD,∠DOB=∠AOD時,△ODB∽△OAD,
∴,
∴OD2=OA×OB=12×4=48,
∴OD=4,
又∵點D為線段AE的中點,
∴AE=2OD=8,
又∵OA=12,
∴OE= =4,
∴D(6,-2),
把D(6,-2)代入拋物線y=mx2-16mx+48m,可得-2=36m-96m+48m,
解得:m=,
∴拋物線的解析式為y=(x-4)(x-12),即y=(x-8)2-,
∵點P(x0,y0)為拋物線上任意一點,
∴y0≥-,
令t=-4my02-12y0-50=-2y02-12y0-50=-2(y0+3)2+4,
則當(dāng)y0≥-時,t最大值=-2(-+3)2+4=,
若要使n≥-4my02-12y0-50成立,則n≥,
∴n≥,
∴實數(shù)n的最小值為.
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【題目】某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動,據(jù)了解,某街道居民人口共有7.5萬人,街道劃分為A,B兩個社區(qū),B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍.
(1)求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人?
(2)街道工作人員調(diào)查A,B兩個社區(qū)居民對“社會主義核心價值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn):A社區(qū)有1.2萬人知曉,B社區(qū)有1萬人知曉,為了提高知曉率,街道工作人員用了兩個月的時間加強宣傳,A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長率為m%,B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個月增長了m%,第二個月增長了2m%,兩個月后,街道居民的知曉率達到76%,求m的值.
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【題目】在△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,M、N分別是AB、AC的中點,D、E在BC上,且DE=5cm,連結(jié)DN、ME交于H,則△HDE的面積為_____.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①abc>0; ②b2-4ac<0 ; ③2a+b>0 ;④a+b+c>0,其中正確的個數(shù)( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,在△ABC中,BC=6,E,F分別是AB,AC的中點,動點P在射線EF上,BP交CE于點D,∠CBP的平分線交CE于點Q,當(dāng)CQ=QE時,EP+BP的值為( ).
A.6B.9C.12D.18
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【題目】自行車因其便捷環(huán)保深受人們喜愛,成為日常短途代步與健身運動首選.如圖1是某品牌自行車的實物圖,圖2是它的簡化示意圖.經(jīng)測量,車輪的直徑為66cm,車座B到地面的距離BE為90cm,中軸軸心C到地面的距離CF為33cm,車架中立管BC的長為60cm,后輪切地面L于點D.(參考數(shù)據(jù):sin72≈0.95,cos18°≈0.95,tan43.5°≈0.9 5)
(1)求∠ACB的大。ň_到1°)
(2)如果希望車座B到地面的距離B'E′為96.8cm,車架中立管BC拉長的長度BB′應(yīng)是多少?(結(jié)果取整數(shù))
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【題目】在小水池旁有一盞路燈,已知支架AB的長是0.8m,A端到地面的距離AC是4m,支架AB與燈柱AC的夾角為65°.小明在水池的外沿D測得支架B端的仰角是45°,在水池的內(nèi)沿E測得支架A端的仰角是50°(點C、E、D在同一直線上),求小水池的寬DE.(結(jié)果精確到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)
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【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都經(jīng)過x軸上的A、B兩點,兩條拋物線的頂點分別為C、D.當(dāng)四邊形ACBD的面積為40時,a的值為_____.
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【題目】某店代理某品牌商品的銷售.已知該品牌商品進價每件40元,日銷售y(件)與銷售價x(元/件)之間的關(guān)系如圖所示(實線),付員工的工資每人每天100元,每天還應(yīng)支付其它費用150元.
(1)求日銷售y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該店員工人共3人,若某天收支恰好平衡(收入=支出),求當(dāng)天的銷售價是多少?
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