Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=8，點E是AB邊上的一點，AE=2

2

．過D，E兩點作直線PQ，與BC邊所在的直線MN相交于點F．
（1）求tan∠ADE的值；
（2）點G是線段AD上的一個動點，GH⊥DE，垂足為H．設(shè)DG為x，四邊形AEHG的面積為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果AE=2EB，點O是直線MN上的一個動點，以O(shè)為圓心作圓，使⊙O與直線PQ相切，同時又與矩形ABCD的某一邊相切．問滿足條件的⊙O有幾個？并求出其中一個圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ADE中，已知AD，AE的長，根據(jù)三角函數(shù)tan∠ADE=

AE

AD

，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)y=S_△AED-S_△DGH，S_△AED=

1

2

AD•AE，S_△DGH=

1

2

DG•DH•sin∠ADE，故應(yīng)求sin∠ADE和DH的值；
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可將DE的值求出，又知AE的長，故可將sin∠ADH的值求出；
在Rt△DGH中，根據(jù)三角函數(shù)可將DH的值求出，故將各數(shù)據(jù)代入進(jìn)行求解可寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）滿足條件的⊙O有4個：⊙O在AB的左側(cè)與AB相切；⊙O在AB的右側(cè)與AB相切；⊙O在CD的左側(cè)與CD相切；⊙O在CD的右側(cè)與CD相切．⊙O在AB的左側(cè)與AB相切為例：作輔助線，過點O作OI⊥FP，垂足為I．根據(jù)AD∥FN，得：△AED∽△BEF，可知sin∠PFN，F(xiàn)B的值，在Rt△FOI中，根據(jù)sin∠PFN=

OI

FO

，可將⊙O的半徑求出，其他情況同理可求解半徑r．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8，AE=2

2

，
∴tan∠ADE=

AE

AD

=

2 2

8

=

2

4

．

（2）∵DE=

AD2+AE2

=

82+(2 2 )2

=6

2

，
∴sin∠ADE=

AE

ED

=

2 2

6 2

=

1

3

，cos∠ADE=

AD

ED

=

8

6 2

=

2 2

3

．
在Rt△DGH中，
∵GD=x，
∴DH=DG•cos∠ADE=

2 2

3

x，
∴S_△DGH=

1

2

DG•DH•sin∠ADE=

1

2

•x•

2 2

3

x•

1

3

=

2

9

x²．
∵S_△AED=

1

2

AD•AE=

1

2

×8×2

2

=8

2

，
∴y=S_△AED-S_△DGH=8

2

-

2

9

x²，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-

2

9

x²+8

2

．

（3）滿足條件的⊙O有4個．
以⊙O在AB的左側(cè)與AB相切為例，求⊙O半徑如下：
∵AD∥FN，
∴△AED∽△BEF．
∴∠PFN=∠ADE．
∴sin∠PFN=sin∠ADE=

1

3

．
∵AE=2BE，
∴△AED與△BEF的相似比為2：1，
∴

AD

FB

=

2

1

，F(xiàn)B=4．
過點O作OI⊥FP，垂足為I，設(shè)⊙O的半徑為r，那么FO=4-r．
∵sin∠PFN=

OI

FO

=

r

4-r

=

1

3

，
∴r=1．
（滿足條件的⊙O還有：⊙O在AB的右側(cè)與AB相切，這時r=2；⊙O在CD的左側(cè)與CD相切，這時r=3；⊙O在CD的右側(cè)與CD相切，這時r=6）

點評：本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，二次函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似等多個知識點．