Question

如圖為某游樂場電車軌道的一部分ABC的圖象，AB為線段，BC為反比例函數(shù)的一部分，已知A（10，1）、B（8，2）、C（2，y_c）．過軌道圖象上一點(diǎn)分別作x、y軸垂線才能固定軌道，若垂線段的和（用S表示）取最小值的點(diǎn)稱為最佳支撐點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析表示式及k值．
（2）求軌道圖象最佳支撐點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)過A、B的直線為y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；將B（8，2）代入，即可求出k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是軌道圖象上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x，那么分兩種情況：①點(diǎn)P在線段AB上；②點(diǎn)P在雙曲線BC上．針對(duì)這兩種情況，分別求出S與x的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出S取最小值時(shí)，自變量x的值，然后比較即可得出軌道圖象最佳支撐點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)過A、B的直線為y=kx+b．
將A（10，1）、B（8，2）代入，
得，
解得，
∴y=-x+6；
∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）分兩種情況：
①設(shè)P（x，-x+6）是線段AB上任意一點(diǎn)，則8≤x≤10，P到x、y軸距離分別為-x+6，x，
∴S=-x+6+x=x+6，
∵＞0，∴S隨自變量x的增大而增大，
∴當(dāng)x=8時(shí)，S取最小值，此時(shí)S=×8+6=10；
②設(shè)P（x，）是曲線BC上任意一點(diǎn)，則2≤x≤8，P到x、y軸距離分別為，x，
∴S=+x=（）²+8≥8，
∴當(dāng)=0，即x=4時(shí)，S取最小值，此時(shí)S=8．
∵10＞8，
∴最佳支撐點(diǎn)為（4，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式及一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，（2）中對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．