Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知D、E（2，4）分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，直線DE交x軸于點(diǎn)F，求直線DE的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是直線DE上的一點(diǎn)，在x軸上方是否存在另一個點(diǎn)N，使以O、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，6）；（2）y＝﹣x+5；（3）見解析.

【解析】

（1）過B作BG⊥OA于點(diǎn)G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的長，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線DE的解析式；
（3）當(dāng)OD為邊時，則MO=OD=5或MD=OD=5，可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由MN∥OD，且MN=OD可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)OD為對角線時，則MN垂直平分OD，則可求得M、N的縱坐標(biāo)，則可求得M的坐標(biāo)，利用對稱性可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過B作BG⊥OA于點(diǎn)G，

∵BC＝3，OA＝6，

∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，

在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，

∴OC＝6，

∴B（3，6）；

（2）由OD＝5可知D（0，5），

設(shè)直線DE的解析式是y＝kx+b

把D（0，5）E（2，4）代入得，解得：，

∴直線DE的解析式是y＝﹣x+5；

（3）當(dāng)OD為菱形的邊時，則MN＝OD＝5，且MN∥OD，

∵M在直線DE上，

∴設(shè)M（t，﹣ t+5），

①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方時，如圖2，則有OM＝MN，

∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，

∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，

當(dāng)t＝0時，M與D重合，舍去，

∴M（4，3），

∴N（4，8）；

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M下方時，如圖3，則有MD＝OD＝5，

∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，

當(dāng)t＝2時，N點(diǎn)在x軸下方，不符合題意，舍去，

∴M（﹣2， +5），

∴N（﹣2，）；

當(dāng)OD為對角線時，則MN垂直平分OD，

∴點(diǎn)M在直線y＝2.5上，

在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5，

∴M（5，2.5），

∵M、N關(guān)于y軸對稱，

∴N（﹣5，2.5），

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．