Question

在△ABC內(nèi)側(cè)作射線，自B，C分別向射線AP引垂線，垂足分別為D，E,M為BC邊中點，連接MD，ME.

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：MD=ME；

（3）如圖2，若射線AP平分∠BAC，且AC>AB，求證：MD=.

 

Answer 1

 解：（1）補全圖形，如圖1所示. ……… 1分

（2）延長DM交CE于點F.

∵BD、CE分別垂直AP于點D、E.

∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.

∵M為BC邊中點，

∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,

∴△DMB≌△FMC (ASA)，

∴DM=FM.

∵∠DEF=90°.

∴EM=DF,

∴MD=ME.

 

（3）延長BD交AC于點G.

∵BD⊥AP于點D，射線AP平分∠BAC,

∴△ADB≌△ADG (ASA)，

∴BD=DG,AB=AG.

又∵△DMB≌△FMC,

∴BD=CF，DM=MF,

∴CF=DG,

又∵BG∥CF,

∴四邊形DFCG為平行四邊形.

∴DF=CG,

∴2MD=CG,

∴2MD=AC-AB,

∴MD=(AC-AB).