【題目】△ABC為等邊三角形,邊長為a,DF⊥AB.EF⊥AC
(1)求證:△BDF∽△CEF;
(2)若a=4,設(shè)BF=m,四邊形ADFE面積為S,求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并探究當(dāng)m為何值時S取最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2)最大值為3.
【解析】
試題分析:(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=60°,由已知得出∠BDF=∠CEF=90°,即可證出△BDF∽△CEF;
(2)作AM⊥BC于M,由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=4,BM=CM=BC=2,由勾股定理求出AM,得出△ABC的面積;求出∠DFB=∠EFC=30°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD=BF=m,CE=CF=(4-m),得出DF、EF的長度,求出△BDF和△CEF的面積,由四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積,得出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2+m+2;化成頂點式,得出當(dāng)m=2時,S取最大值為3即可.
試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵DF⊥AB.EF⊥AC,
∴∠BDF=∠CEF=90°,
∴△BDF∽△CEF;
(2)作AM⊥BC于M,如圖所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=4,BM=CM=BC=2,
∴AM===2,
∴△ABC的面積=BCAM=×4×2=4,
∵BF=m,
∴CF=4-m,
∵∠BDF=∠CEF=90°,∠B=∠C=60°,
∴∠DFB=∠EFC=30°,
∴BD=BF=m,CE=CF=(4-m),
∴DF=BD=m,EF=CE=(4-m),
∴△BDF的面積=BDDF=×m×m=m2,
△CEF的面積=CEEF=×(4-m)×(4-m)=(4-m)2,
∴四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積=4-m2-(4-m)2=-m2+m+2,
即S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2+m+2;
又∵S=-m2+m+2=-(m-2)2+3,-<0,
∴當(dāng)m=2時,S取最大值為3.
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【題目】到三角形三邊距離相等的點是三角形( )的交點。
A. 三邊垂直平分線B. 三個內(nèi)角平分線
C. 三條中線D. 三條高線所在的直線
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【題目】觀察下列算式:(﹣2)1=﹣2,(﹣2)2=4,(﹣2)3=﹣8,(﹣2)4=16,(﹣2)5=﹣32,(﹣2)6=64,(﹣2)7=﹣128…通過觀察,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出(﹣2)2016的末位數(shù)字是_______.
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【題目】已知:如下圖, AB∥CD,點E,F分別為AB,CD上一點.
(1) 在AB,CD之間有一點M(點M不在線段EF上),連接ME,MF,試探究∠AEM,∠EMF,∠MFC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系. 請補(bǔ)全圖形,并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,選其中一個進(jìn)行證明.
(2)如下圖,在AB,CD之間有兩點M,N,連接ME,MN,NF,請選擇一個圖形寫出∠AEM,∠EMN,∠MNF,∠NFC 存在的數(shù)量關(guān)系(不需證明).
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【題目】直線y=2x﹣6與x軸的交點坐標(biāo)是( 。
A. (0,3)B. (3,0)C. (0,﹣6)D. (﹣3,0)
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【題目】以下三條線段為邊,能組成三角形的是( )
A.1cm、2cm、3cm
B.2cm、2cm、4cm
C.3cm、4cm、5 cm
D.4cm、8cm、2cm
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