精英家教網(wǎng)某公園有一塊三角形的空地△ABC(如圖),為了美化公園,公園管理處計劃栽種四種名貴花草,要求將空地△ABC劃分成形狀完全相同,面積相等的四塊.”為了解決這一問題,管理員張師傅準備了一張三角形的紙片,描出各邊的中點,然后將三角形ABC的各頂點疊到其對邊的中點上,結(jié)果發(fā)現(xiàn)折疊后所得到的三角形彼此完全重合.你能說明這種設(shè)計的正確性嗎?
分析:要證這四個三角形完全重合,即證它們?nèi),由D、E、F是三邊中點,EF∥BC,DE∥AB,DF∥AC,且EF=BD=CD=
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BC
由EF∥BC得∠B=∠AFE,∠AEF=∠C,∠DEF=∠EDC,∠BDF=∠EFD.由DE∥AB得∠EDC=∠B,由DF∥AC,得∠C=∠BDF則由(ASA)得△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF
解答:解:這種設(shè)計是正確的.
證明如下:
∵D、E、F是三邊中點,
∴EF∥BC,DE∥AB,DF∥AC,且EF=BD=CD=
1
2
BC,
∵EF∥BC
∴∠AEF=∠C,∠DEF=∠EDC,∠BDF=∠EFD,
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B,
∵DF∥AC,
∴∠C=∠BDF
∴∠AEF=∠C=∠BDF=∠DFE,∠AFE=∠B=∠EDC=∠DEF
∴△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF.
即得到三角形彼此重合.
點評:本題考查了三角形中位線定理,全等三角形的判定,同學們應熟練掌握.
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