【題目】若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同,則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞”,拋物線C1:y1=﹣2x2+4x+2與C2:u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”.

(1)求拋物線C2的解析式.

(2)點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動(dòng)點(diǎn),過A作AQ⊥x軸,Q為垂足,求AQ+OQ的最大值.

(3)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,4),問在C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使線段MB繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′,且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上?若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo),不存在說明理由.

【答案】(1)u2=x2+2x+3;(2);(3)M(1,2)或(1,5).

【解析】

試題分析:(1)先求出C1頂點(diǎn),再根據(jù)它們是友好拋物線,可直接得出C2的頂點(diǎn)式,再化成一般式即可;(2)利用函數(shù)求最大值,令設(shè)A(a,a2+2a+3).則OQ=x,AQ=a2+2a+3,得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系式,再利用函數(shù)極值求得OQ+AQ的最值;(3)連接BC,過點(diǎn)B作BDCM,垂足為D.則BCM≌△MDB,所以BC=MD,CM=BD,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,a).表示出點(diǎn)B的坐標(biāo),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值,從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

試題解析: (1)y1=2x2+4x+2=2(x1)2+4,拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).拋物線C1與C2頂點(diǎn)相同, u2=(x1)2+4=x2+2x+3,拋物線C2的解析式為u2=x2+2x+3.(2)如圖1, 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,a2+2a+3).AQ=a2+2a+3,OQ=a,AQ+OQ=a2+2a+3+a=a2+3a+3=

當(dāng)a=時(shí),AQ+OQ有最大值,最大值為.(3)如圖2,連接BC,過點(diǎn)B作BDCM,垂足為D.

B(1,4),C(1,4),拋物線的對(duì)稱軸為x=1,BCCM,BC=2.∵∠BMB=90°∴∠BMC+BMD=90°

BDMC,∴∠MBD+BMD=90°∴∠MBD=BMC.BM=BM,∴△BCM≌△MDBBC=MD,CM=BD.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,a).則BD=CM=4a,MD=CB=2.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a3,a2).∴﹣(a3)2+2(a3)+3=a2.解得a1=2,a2=5.當(dāng)a=2時(shí),M的坐標(biāo)為(1,2),當(dāng)a=5時(shí),M的坐標(biāo)為(1,5).

綜上所述當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(1,5)時(shí),B恰好落在拋物線C2上.

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