Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（m+1，0）、B（0，m）（m＞0），以AB為直徑畫圓⊙P，點C為⊙P上一動點，

（1）判斷坐標原點O是否在⊙P上，并說明理由；

（2）若點C在第一象限，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，連接BC、AC，且∠BCD=∠BAC，

①求證：CD與⊙P相切；

②當m=3時，求線段BC的長；

（3）若點C是的中點，試問隨著m的變化點C的坐標是否發(fā)生變化，若不變，求出點C的坐標；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）在，理由見解析；（2）①證明見解析，②BC= ；（3）不變，C

【解析】試題分析：（1）點P在⊙P上．連接OP．證明OP=PA，則可得到結(jié)論；

（2）①連接PC．證明∠BCD+∠PCB=90°即可得到結(jié)論；

②延長CP交OA于M．當m=3時，得到OB=3，OA=4， AB=5．再證明四邊形DOMC是矩形，得到CM=DO，由三角形中位線定理得到PM=1.5，從而得到CM=4，進而得到BD=1． 再由sin∠BCD=sin∠BAC，可得到BC的長．

（3）過點C作CM⊥x軸于點M，CN⊥y軸于點N，可證明△BNC≌△AMC，設(shè)CM=a，則有ON=OM=a，故m+a=m+1-a，解出a的值即可．

試題解析：解：（1）點P在⊙P上．理由如下；

連接OP．∵BA為⊙P的直徑，∴BP=PA，∵∠AOB=90°，∴OP=AB=PA，∴點O在⊙P上；

（2）①連接PC．∵PC=PA，∴∠PCA=∠PAC，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠PCA．∵AB為直徑，∴∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACP=90°，∴∠BCD+∠PCB=90°，∴CD與⊙P相切；

②延長CP交OA于M．當m=3時，OB=3，OA=4，∴AB=5．∵∠PCD=∠CDO=∠DOA=90°，∴四邊形DOMC是矩形，∴CM=DO，PM⊥OA，∴OM=MA，∵AP=BP，∴PM=BO=1.5，∵PC=2.5，∴CM=1.5+2.5=4，∴OD=4，∴BD=4-3=1． ∵∠BCD=∠BAC，∴sin∠BCD=sin∠BAC，∴，∴，∴ ，∴BC=.

（3）過點C作CM⊥x軸于點M，CN⊥y軸于點N，∵弧CB=弧AC，∴BC=AC，在△BNC和△AMC中，∵∠CBN=∠MAC，∠AMC=∠BNC，BC=AC，∴△BNC≌△AMC，∴BN=AM ，CM=CN，設(shè)CM=a，∵四邊形ONCM為正方形，∴ON=OM=a，∴m+a=m+1-a，解得a=，所以C（， ）．∴C的坐標不變，為C（， ）．